एक खिलौना कंपनी, A और B दो प्रकार की गुड़ियों का निर्माण करती है । मार्किट परीक्षणों तथा उपलब्ध संसाधनों से संकेत मिलता है की सम्मिलित उत्पादन स्तर प्रति सप्ताह 1200 गुड़ियों से अधिक नहीं होना चाहिए और B प्रकार की गुड़ियों की अधिक से अधिक मांग A प्रकार की गुड़ियों की आधी है । इसके अतिरिक्त A प्रकार की गुड़ियों का उत्पादन स्तर दूसरे प्रकार की गुड़ियों के उत्पादन स्तर के तीन गुने से 600 नाग अधिक है । यदि कंपनी A और B प्रत्येक गुड़िया पर क्रमशः Rs 12 और Rs 16 का लाभ कमाती है, लाभ का अधिकतमीकरण करने के लिए प्रत्येक के कितने नगों का साप्ताहिक उत्पादन करना चाहिए ।

Explanation

माना कंपनी A प्रकार की x गुड़ियों तथा B प्रकार की y गुड़ियों का निर्माण करती है,
`therefore` अधिकतमीकरण `Z = 12x + 16y`
`x ge 0, y ge 0 " "… (1)`
`x + y le 1200 " " … (2)`
`y le x//2 rArr x - 2y ge 0 " " ...(3)`
`x le 3y + 600 rArr x -3y le 600 " " ...(4)`
सर्वप्रथम, रेखा x + y = 1200 का ग्राफ खींचते हैं ।

(0, 0) असमिका `x + y le 1200` में रखने पर,
`0 + 0 le 1200 rArr 0 le 1200` (सत्य)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है ।
अब, रेखा x-2y = 0 का ग्राफ खींचते हैं ।

(200, 0) असमिका `x - 2y ge 0` में रखने पर, `200-2 xx 0 ge 0 rArr 200 ge 0` (सत्य)
अतः अर्द्धतल X-अक्ष की ओर है ।
अब रेखा x-3y = 600 का ग्राफ खींचते हैं ।


(0, 0) असमिका `x -3y le 600` में रखने पर,
`0 + 3 xx 0 le 600 rArr 0 le 600` (सत्य)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है । चूँकि `x, y ge 0` है, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा ।
रेखा x-3y = 600 तथा x + y = 1200 का प्रतिच्छेद बिंदु
B(1050, 150) तथा रेखा x = 2y तथा x + y = 1200 का प्रतिच्छेद बिंदु C(800, 400) है ।
`therefore` सुसंगत क्षेत्र OABCO है ।
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(600,0), B(1050, 150) तथा C(800, 400) है । इन शीर्ष बिंदुओं पर Z के मान निम्न है ।

Z का अधिकतम मान C(800, 400) पर 16000 प्राप्त होता है । अतः अधिकतम लाभ Rs 16000 प्राप्त करने के लिए A प्रकार की 800 गुड़ियों तथा B प्रकार की 400 गुड़ियों का निर्माण करना चाहिए ।