एक कलश (पात्र) में 25 गेंदे हैं, जिनमे से 10 गेंदों पर चिन्ह X अंकित हैं और शेष 15 पर चिन्ह Y अंकित हैं। कलश में से एक गेंद याद्रीच्या निकली जाती हैं और उस पर अंकित चिन्ह का नॉट (लिख) करके उसे कलश में प्रतिस्थापित कर दिया जाता हैं। यदि इस प्रकार से 6 गेंदे निकली जाती हों, तो निम्नलिखित प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिये।
(i) सभी पर चिन्ह X अंकित हो।
(ii) 2 से अधिक पर चिन्ह Y नहीं अंकित होता।
(iii) कम से कम 1 गेंद पर चिन्ह Y अंकित हो।
(iv) X तथा Y चिन्हों से अंकित गेंदों कि संख्याएं समान हों।
X चिन्ह से अंकित गेंदों कि संख्या का माध्य भी ज्ञात कीजिये।

Explanation

n=6 परिक्षण के लिए यह प्रयोग एक बरनॉली परिक्षण हैं। माना यहाँ चिन्ह X अंकित गेंदों का कलश में से निकलना सफलता हैं।
`p=10/25 = 2/5 rArr q=1-2/5 = 3/5`
`therefore` Z बंटन, n=6, `p=2/5` तथा `q=3/5` वाला एक द्विपद बंटन हैं।
`therefore P(Z=r) =(""^(n)C_(r)).p^(r )q^(n-r) = (""^(6)C_(r ))(2/5)&^( r) (3/5)^(6-r)`
(i) P( सभी चिन्ह X अंकित वाले है) = `P(6` सफलताएं)
`=(""^(6)C_(6)p^(6)q^(0))=(2/5)^(6)`
(ii) P(2 से कम पर चिन्ह X अंकित न हो)
=P (न्यूनतम 4 सफलताएं)
`=P(4) +P(5) +P(6)`
`=15 xx (2/5)^(4)9/25 + 6 xx (2/5)^(5) xx 3/5 +1 xx (2/5)^(6) xx 1`
`=(2/5)^(4) [27/5 + 36/25 + 4/25]=(2/5)^(4)[(135+36+4)/(25)]`
`=(2/5)^(4) xx 175/25 = 7(2/5)^(4)`
(iii) P(कम-से-कम 1 गेंद पर चिन्ह 'Y' अंकित हो)
=P(न्यूनतम 1 न्यूनतम 1 असफलता)
=P(अधिकतम 5 सफलताएं)
`=1-P(6)=1-(""^(6)C_(6))p^(6)q^(0)`
`=1-1 xx (2/5)^(6) xx 1 =1-(2/5)^(6)`
(iv) अभीष्ट प्रायिकता =P (तीन सफलताएं तथा तीन असफलताएं)
`=P(3)=^(""^(6)C_(3))p^(3)q^(3) = ""^(6)C_(3)(2/5)^(3)(3/5)^(3)`
`=20 xx (2/5)^(3) xx (3/5)^(3) = 20 xx 8/125 xx 27/125 =864/3125`
अभीष्ट माध्य `=np = 6 xx 2/5=2.4`