संलग्न चित्र में r त्रिज्या का एक ऊर्ध्वाधर व्रत प्रदर्शत है । निम्नतम बिंदु A से एक गोली चाल `v_A` से लुढ़काई जाती है । व्रत तथा गोली के बिच घर्षण शून्य है । `v_A` के न्यूनतम मान कितना हो की गोली व्रत से बिना अलग हुए व्रत के उचतम बिंदु B तक पहुंचा जाये ?

Explanation

माना गोली की द्रव्यमान m तथा उछत्तम बिंदु B पर गोली की चाल `v_B` है । बिंदु B पर पहुँचने के लिए आवशयक है की बिंदु B पर वृतीय गति के लिए आवशयक अभिकेंद्र-बल `(=mv_B^2//r)` गोली के भर से ही प्राप्त हो जाय।
अर्थात `(mv_B^2)/r=mg`
अथवा `v_B^@=gr" ...(i)"`
गोली की बिंदु A से बिंदु B तक चढ़ने पर गोली की गतिज ऊर्जा में होने वाली कमी, स्थितिज ऊर्जा में होने वाली वृद्धि के बराबर होगी, अथवा
`1/2mv_A^2-1/2mv_B^2=mgxx2r`
अथवा `v_A^2-v_B^2=4gr" ....(i)"`
समीकरण (i) से `v_B^2` का मान समीकरण (ii) में रखने पर
`v_A^2-gr=4gr`
अथवा `v_A^2=4gr+gr=5gr`.
`:." "u_A=sqrt(5gr).`