R त्रिज्या का पतला वृतीय तार अपने ऊर्ध्वाधर व्यास के पृथ कोणीय आवृति `omega` से घर्षण कर रहा है । यह दर्शाइए की इस तार में डली कोई मनिका `omega lesqrt(g//R)` के लिए अपने निम्नतम बिंदु पर रहती है । `omega=sqrt(2g//R)` के लिए, केंद्र से मनिका को जोड़ने वाला त्रिज्या सदिश ऊर्ध्वाधर अधोमुखी दिशा से कितना कौन बनता है ? ( घर्षण को अपेक्सनीय मनीय ।)

Explanation

माना R त्रिज्या का पतला वृतिया तार ( जैसा की त्रिज्या में प्रदर्शिक्त है ) अपने ऊर्ध्वाधर व्यास AB के परितः `omega` कोणीय वेग से घर्षण कर रहा है । माना किसी क्षण, m द्रव्यमान की एक मनिका वृतीय तार की भीतरी सतह के बिंदु P पर इस प्रकार स्थित है की मनिका P को वृतीय तार के केंदरत O को मिलाने वाली रेखा OP जिसे त्रिज्या सदिश भी कह सकते है ऊर्ध्वाधर व्यास AB से निचे की और `theta` कौन बनाती है ( चित्र देखें ) । मनिका पर कार्यरत बालो पर विचार करने पर, (i) मनिका का भर mg जो की ऊर्ध्वाधर निचे को व्यास AB के समांतर दृष्टि है ।

(ii) `Nsintheta=mRomega^2sintheta`अथवा `N=mRomega^2" ...(i)"`
मनिका पर वृतीय तार के ताल की अभिलम्ब प्रतिक्रिया N, त्रिज्या सदिश के अनुदिश केन्देर की और निर्दिष्ट है ।
(iii) वृतीय गति के लिए आवशयक अभिकेंडर - बल `mRomega^2` जो त्रिज्या सदिश के अनुदिश ही कार्यरत है ।
माणिक के संतुलन के लिए,
तथा `Ncostheta=mg`
समीकरण (i) व् (ii) से,
`costheta =(mg)/N=(mg)/(mRomega^2)=g/(Romega^2)`
अथवा `omega=sqrt(g/(Rcostheta))" ...(iii)"`
चूँकि `theta` के निश्चित मान के लिए `।cos theta।le1`।
अतः यदि `omega lesqrt(g/R)`, तो मनिका निम्नतम बिंदु पर रहती है ।
पुनः समाकरण (iii) में `omega=sqrt((2g)/R)` प्रतिस्थापित करने पर,
`sqrt((2g)/R)=sqrt((2g)/(Rcostheta))`
`costheta=1/2`
अथवा `theta=cos^-1(1/2)=60^@`.