निम्न के मान ज्ञात कीजिए -
`e^(ax)sinbx`

Explanation

माना `I=inte^(ax)sin bxdx`
यहाँ `e^(ax)` तथा sin bx दोनों ऐसे फलन हैं जिनके समाकल हमें ज्ञात हैं, इसके अतिरिक्त इनमें से कोई भी फलन अवकलन क्रिया मरण अचर नहीं होगा। ऐसी स्थिति में आप जिसे चाहे प्रथम फलन मानकर खण्डश: समाकलन क्रिया का सम्पादन कर सकते हैं ।
माना हम sin bx को प्रथम फलन मानकर फलन का खण्डश : समाकलन करते है -
`I =sin bx int e^(ax) dx-int{d/(dx)sinbx int e^(ax)dx}dx`
`=1/ae^(ax)sinbx-b/aintcosbxe^(ax)dx`
पुन: खण्डश: समाकलन करने पर,
`I=1/ae^(ax)sinbx`
`-b/a[cosbx int e^(ax)dx-int{d/(dx)cosbx int e^(ax)dx}dx]`
`=1/ae^(ax)sinbx-b/a[(cosbxe^(ax))/a+b/aintsinbse^(ax)dx]`
`1/ae^(ax)sinbx-b/a^2e^(ax)cosbx-b^2/a^2I` [समीकरण (1) से]
`rArr I+b^2/a^2I=1/a^2e^(ax)(asinbx-bcosbx)`
`rArr((a^2+b^2)/a^2)I=1/a^2e^(ax)(asinbx-b cosbx)`
`:. I=e^(ax)/((a^2+b^2))(a sin bx-b cos bx)`