`int{(sin^(-1)sqrtx-cos^(-1)sqrtx)/(sin^(-1)sqrtx+cos^(-1)sqrtx)}dx` का मान ज्ञात कीजिए ।

Explanation

दिया है - `int{(sin^(-1)sqrtx-cos^(-1)sqrtx)/(sin^(-1)sqrtx+cos^(-1)sqrtx)}dx`
हम जानते हैं की `sin^(-1)sqrtx+cos^(-1)sqrtx=pi/2`, तब
`=int{(sin^(-1)sqrtx-(pi/2-sin^(-1)sqrtx))/((pi/2))}dx`
`=2/piint(2sin^(-1)sqrtx-pi/2)dx`
`=4/piintsin^(-1)sqrtxdx-intdx`
`=4/x intsin^(-1)sqrtxdx-x+c ...(1)`
अब, यदि `x= sin^2theta` व `dx=2sinthetacostheta d theta=sin2theta d theta`, तब
`intsin^(-1)sqrtxdx=intthetasin 2theta d theta`
अब खण्डश: समाकलन करने पर
`=theta((-cos2theta)/2)-int1.((-cos2theta)/2)d theta`
`-theta/2cos2theta+int1/2cos2theta d theta `
`=-1/2thetacos2theta+1/4sin2theta`
`=-1/2theta(1-2sin^2thet)+1/2sinthetasqrt(1-sin^2theta)`
`intsin^(-1)sqrtxdx=-1/2sin^(-1)sqrtx(1-2x)+1/2sqrtx.sqrt(1-x)`
यह मान समीकरण (1) में रखने पर
`=4/pi{-1/2sin^(-1)sqrtx(1-2x)+1/2sqrtxsqrt(1-x)}-x+c`
`=-2/pisin^(-1)sqrtx(1-2x)+2pisqrtxsqrt(1-x)-x+c`