एक कण जिसके स्थिति सदिश r के x,y,z-अक्षो के अनुदिश अवयव क्रमश: `x,y,z` है और रखिये सवेग सदिश के अवयव `p_(x),p_(y),p_(z)` है कोनिये सवेग L के अक्षो के अनुदिश अवयव ज्ञात कीजिएः। दर्शाइए की यदि कण केवल x-yतल में ही गतिमान हो, तो कोनिये सवेग का केवल z -अवयव ही होता है

Explanation

माना कण बिंदु P पर स्थित है, इसका स्थिति सदिश r तथा रखिये सवेग P है
`r=x hati+yhatj+zhatk`
`p=p_(x)hati+p_(y)hatj+p_(z)hatk`

सदिश का कोणीय सवेग `L=rxxp`
`=(xhati+yhatj+zhatk)xx(p_(x)hati+p_(y)hatj+p_(z)hatk)`
`=|{:(,hati,hatj,hatk),(,x,y,z),(,p_(x),p_(y),p_(z)):}|`
यदि X,Y तथा Z के अनुदिश L के अवयव क्रमश `L_(x), L_(y)` तथा `L_(z)` है तब `L_(x)hati+L_(y)hatj+L_(z)hatk=hati(yp_(z)-zp_(y))+hatj(zp_(x)-xp_(z))+hatk(xp_(y)-yp_(x))`
दोनों पक्षों की तुलना करने पर `L_(x)=yp_(z)-zp_(y)`
`L_(y)=zp_(x)-xp_(z)`
`L_(z)=xp_(y)-yp_(x)`
प्रशानुसार, कण X-Y तल में गति कर रहा है
`therefore` X-Y तल में गतिमान कण द्वारा बल आघूर्ण `tau_(z)=tauF_(y)-tauF_(x).....(i)`
जहाँ `tau_(z) X-Y` तल में गतिमान कण पर Z-अक्ष के के अनुदिश बल का आघूर्ण का अवयव है
माना तल में द्रव्यमान के कण का वेग v है तथा तथा इसके X तथा Y अक्ष के अनुदिश वेग है न्यूटन के द्वितीय नियम से `F_(x)=d/dt(p_(x))=d/dx(mv_(x))`
`=m(dv_(x))/(dt)`
तथा `F_y=d/dt (p_(y))=m(dv_(y))/(dt)`
`tau_(z)=xm d/dt(v_(x))-ym d/dt(v_(y))`
`=m[x(dv_(y))/(dt)-(dv_(x))/(dt)y].....(ii)`
अब `d/dt[xv_(y)-yv_(x))=d/dt(xv_(y))-d/dt (yu_(x))`
`=[x(d)/(dt )v_(y)+v_(y)d/dtx]-[yd/dtv_(x)+v_(x)d/dty]`
`=xd/dt v_(y)+v_(x)v_(y)-yd/dtv_(x)-v_(x)v_(y)`
`=xd/dtv_(y)-yd/dt v_(x)......(iii)`
समीकरण (i) व (iii) से
`=tau_(z)=md/dt(xv_(y)-yu_(x))`
`=d/dt (xmv_(y)-ymv_(x)).....(iv)`
`therefore p_(y)=mv_(y) "तथा "p_(x)=mv_(x) `(therefore "सवेग" p=mv)`
`therefore tau_(z)=d/dt(xp_(y)-yp_(x))`
`tau_(z)=d/dttau_(z)` [समीकरण (ii) के भाग (a) से]
उपरोक्त सम्बन्ध से हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते है की यदि कण X-Yतल में गतिमान हो, तो कोणीय सवेग (L) का केवल Z-अवयव ही होता है