नीचे दिए गये समय के फलानो में कौन - (a ) सरल आवर्त गति (b ) आवर्ती परन्तु सरल आवर्त गति नहीं तथा (c ) अनावर्ती गति , का निरूपण करते है । प्रत्येक आवर्ती गति का आवर्तकाल गति , का निरूपण करता है । प्रत्येक आवर्ती गति का आवर्तकाल ज्ञात कीजिए । ( `omega` कोई धनात्मक अचार है ।)
(a) `sin omegat-cos omega t`
(b) `sin^(3)omegat`
(c) `3cos ((pi)/(4)-2omegat)`
(d) `cos omega t +cos 3omega t+cos 5omegat`
(e) exp `(-omega^(2)t^(2))`
(f) `1+omegat+omega^(2)t^(2)`

Explanation

(a) माना `( x) t = sin omegat - cos omega t`
` = sqrt(2) [ 1/sqrt(2)sin omegat -1/(sqrt(2))cos omegat]`
` = sqrt(2)[ cos. pi/4 sin omega t - sin .pi/4 cos omega t]`
` = sqrt(2) sin (omega t - pi/4)`
स्पष्टतः उपरोक्त समीकरण निम्न रूप में है -
` x = A sin ( omega t pm phi)`
यह समीकरण SHM प्रदर्शित करता है ।
पुनः `t = (2pi)/omega` का आवर्तकाल है ।
` x(t + (2pi)/omega)= sqrt(2) sin [ omega (t+ (2pi)/omega)-pi/4]`
` = sqrt(2) ( omega t + 2pi -pi/4)`
` = sqrt(2) sin ( omega t - pi/4 ) = x (t)`
अतः आवर्तकाल ` T = ( 2pi)/omega`
तथा कला `=-pi/4` या `(2pi- pi/4)`
(b) माना ` x (t) = sin^(3) t`
अथवा ` x (t) = 1/4 ( 3 sin omega t - sin omega t )`
` ( :' sin 3 theta = 3 sin theta - 4 sin^(3) theta)`
उपरोक्त समीकरण दो सरल आवर्त गतियों का युग्म प्रदर्शित करती है । यह युग्म आवर्त है , किन्तु सरल आवर्त गति प्रकट नहीं करता ।
` 3/4 sin omega t` का आवर्तकाल = ` (2pi)/omega = T`
` 1/4 sin 3 omega t ` का आवर्तकाल ` = (2pi)/(3omega ) = T' = T /3`
अतः युग्म का आवर्तकाल
= न्यूनतम समय जिसके पश्चात युग्म समीकरण पुनरावृत्ति करता है ।
= LCM का T
तथा ` T/3 = T`
(c) ` x(t) = 3cos (pi/4 - 2omega t)`
` = 3 cos (2omegat-pi/4)`
` [ :' cos ( - theta )= cos theta]`
उपरोक्त समीकरण निम्न रूप में है -
` x (t) = A cos (omega t pm phi )`
अतः सरल आवर्त गति का आवर्तकाल
` T = (2pi)/(2omega) = pi/omega `
(d) ` x (t) = cos omega t + cos 3 omega t + cos 5 omega t `
अतः`cos omegat,` SHM प्रदर्शित करता है जिसका आवर्तकाल
` = (2pi)/omega = T` ( माना )
` cos 3 omega t , ` SHM प्रदर्शित करता है जिसका आवर्तकाल
` = (2pi)/(3omega)= T/5`
` cos 5 omega t ` , SHM प्रदर्शित करता है जिसका आवर्तकाल
` = (2pi)/(5omega) = T /5`
न्यूनतम समय जिसमे गति फलन की पुनरावृत्ति होती है वह समय है । अतः दिया गया फलन आवर्ती फलन प्रकट करता है , किन्तु सरल आवर्त गति नहीं ।
(e ) ` x ( t) = exp (-omega^(2)t^(2))`
दिया गया फलन चरघातांकी फलन है यह एकांक रूप से घटता है ।
` x(t) to 0 ` पर ` t to oo`
इस मान की पुनरावृत्ति नहीं होतीहै । अतः यह अनावर्ती गति फलन प्रदर्शित करता है ।
(f) ` x(t) = 1+ omega t + omega^(2) t^(2)`
यहाँ , ` t to oo`
` x (t) to oo`
इस मान की पुनरावृत्ति नहीं होती है । अतः यह अनावर्ती फलन प्रदर्शित करता है ।