सरल आवर्त गति करते किसी कण कि गति का वर्णन नीचे दिए गये विस्थापन फलन किया जाता है - ,
`x(t) = A cos (omegat+phi)` यदि कण कि आरंभिक (t=0 ) स्थिति सेमी तथा उसका आरम्भिवेग सेमी /सेकंड है , तो कण का आयाम तथा आरम्भिक कला कौन क्या है ? कण कि कोणीय आवृत्ति सेकंड है । यदि सरल आवर्त गति का वर्णन करने के लिए कोज्या ( cos) फलन के स्थान पर हम ज्या ( sin) फलन चुनेः `x=B sin(omegat+alpha)` तो उपरोक्त आरंभिक प्रतिबंधों में कण का आयाम तथा आरंभिक कला कौन क्या होगा ?

Explanation

दिया है - ` x (t) = A cos (omega t+phi)`
t = 0 पर विस्थापन x(t)=1 सेमी तथा वेग `upsilon = omega` सेमी / सेकण्ड
कोणीय आवृत्ति ` omega = pi "सेकण्ड"^(-1)` या ` 1 = A cos ( omega t + phi)`
t = 0 पर , ` 1 = A cos phi`
अब ,` upsilon (t) = (dx)/(dt )(t)= d/(dt) A cos (omegat = phi)`
` = -A omega sin (omega t + phi )`
पुनःt = 0 पर , ` v = omega ` सेमी/सेकण्ड
या ` omega = 0 A omega sin phi `
या ` -1 = A sin phi " " ` ...(ii)
समीकरण (i ) तथा समीकरण (ii ) का वर्ग करके जोड़ने पर ,
` A^(2) cos^(2) phi +A^(2) sin^(2) phi = (1)^(2) + (-1)^(2)`
` A^(2) = 2`
या ` A = pm sqrt(2)`
अतः आयाम`=sqrt(2)` सेमी
समीकरण (ii ) को समीकरण (i ) से विभाजित करने पर ,
` (A sin phi )/(A cos phi ) = (-1)/1`
या ` tan phi = -1`
या `phi = -pi/4 ` या `(7pi)/4`
cos फलन के स्थान पर sin फलन प्रयुक्त करने पर
` x (t) = B sin (omega t +alpha)`
` B sin alpha =1 " "` ...(iii)
वेग ` upsilon (t) = (dx(t))/dt = d/(dt) [ B sin (omega t +alpha)]`
` = + B omega cos ( omega t+alpha)`
पुनः t=0, ` upsilon (t) = omega ` सेमी/सेकण्ड
`omega = + B omega (0+alpha)`
` B cos alpha = +1 " " ` ...(iv)
समीकरण (iii ) तथा समीकरण (iv ) का वर्ग करके जोड़ने पर ,
` B ^(2) sin^(2) alpha + B^(2) cos^(2) alpha = (1)^(2) + (+1)^(2)`
या ` B^(2) sin^(2) alpha + B^(2) cos^(2) alpha = 2`
`B^(2) (sin^(2) alpha + cos6(2) alpha)=2`
` B^(2)*1=2`
या ` B = pm sqrt(2)` सेमी
अतः गति का आयाम` = sqrt(2)` सेमी
समीकरण (iii ) को समीकरण (iv ) से भाग देने पर ,
` (B sin alpha)/(B cos alpha) = 1/1 " या " tan alpha = 1 `
` :. alpha = pi/4`