चित्र(a ) में k बल - स्थिरांक कि किसी कमानी के एक सिरे को किसी दृढ़ आधार से जकड़ा तथा दूसरे मुक्त सिरे से एक द्रव्यमान m जुड़ा दर्शाया गया है । कमानी के मुक्त सिरे पर बल F आरोपित करने से कमानी तन जाती है । चित्र ( b) में उसी कमानी के दोनों मुक्त सिरों से द्रव्यमान m जुड़ा दर्शाया गया है कमानी के दोनों सिरों को चित्र में समान बल F द्वारा तनित किया गया है ।

(i) दोनों प्रकरणों में कमानी का अधिकतम विस्तार क्या है ?
( ii) यदि (a ) का द्रव्यमान तथा (b ) के दोनों द्रव्यमानो को मुक्त छोड़ दिया जाता , तो प्रत्येक प्रकरण में दोलन का आवर्तकाल ज्ञात कीजिए।

Explanation

`F= -kx " या " |F|= kx`

यदि स्प्रिंग में विस्थापन x' है , प्रत्येक तब प्रत्येक द्रव्यमान का मुक्त वस्तु चित्र बनाते है ( निकाय आरोपित बल की अवस्था में संतुलन में है ।)

kx' = F
` :. x' = F/k`
दोनों अवस्था में विस्थापन समान है , अर्थात `= F/k`
(ii) अवस्था (a) में दोलनकाल
` F = - kx`
जहाँ x= दिया गया विस्थापन
किन्तु , F = ma
` :. ma = -kx`
अथवा ` a = -(k/m)x" "` (i)
` a prop -x`
( जहाँ`k/m` एक नियतांक है )
समीकरण ( ) को `a = -omega^(2)x` , के साथ तुलना करने पर,
` :. omega = sqrt(k/m)`
दोलनकाल ` T = (2pi)/omega = 2pi sqrt(m/k)`
अवस्था (b),

जब निकाय को दो प्रकर भागो में विस्थापित किया जाता है , तब
k' = 2k
` F = -k'x`
k' = 2k ( अतः स्प्रिंग को दो बराबर भागो में काटने पर प्रत्येक भाग का बल नियतांक k होगा )
या ` F = -2 kx`
किन्तु , F = ma
` :. ma = -2 kx`
या ` a= - ((2k)/m)x" "` ...(ii)
या ` a prop - ` विस्थापन ( जहाँ `(2k)/m` नियतांक है )
समीकरण (ii ) की`a = -omega^(2) x,` से तुलना करने पर ,
` omega = sqrt((2k)/m)`
दोलनकाल ` T = (2pi)/omega = 2pi sqrt(m/(2k))`