एक भारी कण को लंबाई l की एक डोरी से लटकाया गया हैं । कण को एक क्षैतिज वेग `v_(0)` दिया जाता हैं । डोरी कुछ कोण पर पहुँचकर ढीली हो जाती है तथा कण सिर्फ गुरुत्व के प्रभाव में परवलय पथ में बढ़ता हैं । यदि कण डोरी के स्थिर किनारे पर जा टकराता हैं , तो `v_(0)` का मान g तथा l के पदों में निकालें ।

Explanation

मान लें कि कण जब बिंदु P पर पहुँचता हैं तो डोरी ढीली हो जाती हैं । इस समय ऊर्ध्वाधर से डोरी OP कोण `theta` बनाती हैं । बिंदु P पर कण के भार `mg cos theta` होगा । इस समय रस्सी का तनाव शून्य हैं , इसीलिए केंद्र की ओर कुल बल ` = mg costheta` होगा । चूँकि कण वृत्त में बिंदु P तक गति करता हैं ,
`mg cos theta = m ((v^(2))/(l))`
या `v^(2) = gl cos theta`, ...(i)
जहाँ v बिंदु P इसकी चाल हैं ।
ऊर्जा - संरक्षण के सिध्दांत से ,
`(1)/(2)mv_(0)^(2) = (1)/(2)mv^(2) + mgl(1 + cos theta)`
या `v^(2) = v_(0)^(2) - 2gl(l + cos theta).` .....(ii)
समीकरण (i) एंव (ii) सें ,
`v_(0)^(2) - 2gl(1 + cos theta) = glcos theta` ....(iii)
या `v_(0)^(2) = gl( 2 + 3 cos theta)`.
अब जब कण परवलय के पथ में जाता हैं तब वह सिर्फ गुरुत्वीय बल के प्रभाव में रहता हैं । P बिंदु पर उसका वेग v , रेखा OP के लंबवत हैं । अतः वेग का क्षैतिज घटक `= v cos theta` तथा ऊर्ध्वाधर घटक `=v_(0)sintheta`
P से O तक के विस्थापन के लिए ,
`l sin theta = (v cos theta ) t `
तथा `-lcos theta = (v sin theta )t - (1)/(2)" gt"^(2)`
या `- l cos theta = (v sin theta) ((l sin theta)/(v cos theta)) - (1)/(2) g ((lsin theta)/(v cos theta))^(2)`
या `-cos^(2)theta = sin^(2)theta - (1)/(2) g ((l sin^(2)theta)/(v^(2) cos theta))^(2)`
या `-cos^(2)theta = 1 - cos^(2)theta - (1)/(2)(gl sin^(2) theta)/(gl cos^(2) theta)` [समीकरण (i) से ]
या ` 1 = (1)/(2)tan^(2)theta "या" tan theta = sqrt(2)`. समीकरण (iii) से , `v_(0) = [ gl(2 + sqrt(3))]^((1)/(2)).`