पहली विधि -
प्रति इकाई क्षेत्रफ़ल का द्रव्यमान `sigma = (M)/(pi(R_(2)^(2) - R_(1)^(2)))`
यदि बीच का खाली स्थान भी उसी पदार्थ से बना होगा तो यह रिंग एकसमान डिस्क (चकती) हो जाती । इसका द्रव्यमान ,
`M'' = (M)/(pi(R_(2)^(2) + R_(1)^(2))) piR_(2)^(2) = (MR_(2)^(2))/(R_(2)^(2) - R_(1)^(2))`
तथा OA के प्रति इसका जड़त्व आघूर्ण `I_(1) = 1/2 M'R_(2)^(2)` होता ।
खाली स्थान में भरे पदार्थ का द्रव्यमान,
`M'' = (M)/(pi(R_(2)^(2) - R_(1)^(2))) piR_(1)^(2)`
`= (MR_(1)^(2))/(R_(2)^(2) - R_(1)^(2))`
तथा OA के प्रति इसका जड़त्व आघूर्ण `I_(2) = 1/2 M" R_(1)^(2)`.
अतः, OA के प्रति दी गई रिंग का जड़त्व आघूर्ण
`= I_(1)-I_(2)=1/2M'R_(2)^(2)-1/2M''R_(1)^(2)`
`=1/2((MR_(2)^(2))/(R_(2)^(2)-R_(1)^(2)))R_(2)^(2)-(1)/(2)((MR_(1)^(2))/(R_(2)^(2)-R_(1)^(2)))R_(1)^(2)`
`= 1/2((M)/(R_(2)^(2)-R_(1)^(2))) (R_(2)^(4)-R_(1)^(4)) = 1/2M(R_(2)^(2)+R_(1)^(2))`
दूसरी विधि -
प्रति इसके द्रव्यमान `sigma = (M)/(pi(R_(2)^(2) - R_(1)^(2)))`
दी गई रिंग O पर बिंदु को केंद्र मानकर त्रिज्या का एक वृत्त खींचें । अब x को बढ़ाकर`x+dx` कर दें ।x तथा x+ dx त्रिज्याओं के बीच रिंग का जितना भाग आ गया, उसे रिंग का एक छोटा भाग मानें। OA से इस भाग की दूरी x तथा `x+ dx` के बीच ही होगी । इस पतली रिंग का द्रव्यमान `dm = sigma 2pixdx` तथा OA के प्रति इसका जड़त्व आघूर्ण `dl= x^(2)dm=2pisigmax^(3)dx` होगा । दी गई रिंग का OA के प्रति जड़त्व आघूर्ण,
`I = 2pisigmaint_(R_(1))^(R_(2)) x^(3)dx = 2pisigma [(x^(4))/(4)]_(R_(1))^(R_(2)) = (2pisigma)/(4) (R_(2)^(4) - R_(1)^(4))`
`= (2piM(R_(2)^(4) - R_(1)^(4)))/(4pi(R_(2)^(2) - R_(1)^(2))) = 1/2M(R_(2)^(2) + R_(1)^(2))`.
