माना `S={1,2,3,4}` और संक्रिया `**` समुच्चय S में इस प्रकार परिभाषित है की `a**b=r` जहाँ r न्यूतनम ऋणोंत्तर शेषफल है जब गुणफल `ab` को 5 से विभाजित किया जाता है। सिद्ध कीजिए संक्रिया `'**'` समुसुच S में द्विआधारी है।

Explanation

द्विआधारी संक्रिया के लिए हमे सिद्ध करना है की
`a**b in S AA, a b in S`
अब,
`1**1=` न्यूनतम ऋणोंत्तर शेषफल जब `1xx1=1` को 5से भाग दिया जाता है `=1 in S`
`1**2`= न्यूनतम ऋणोंत्तर शेषफल जब `1xx2=2` को 5 से भाग दिया जाता है `=2in S`
`1**3` = न्यूनतम ऋणोंत्तर शेषफल जब `1xx3=3` को 5 से भाग दिया जाता है `=3in S`
`1**4`= न्यूनतम ऋणोंत्तर शेषफल जब `1xx4=4` को 5 से भाग दिया जाता है `=4in S`
`2**1=` न्यूनतम ऋणोंत्तर शेषफल जब `2xx1=2` को 5 से भाग दिया जाता है `=2in S`
`2**2=` न्यूनतम ऋणोंत्तर शेषफल जब `2xx2=4` को 5 से भाग दिया जाता है `=4in S`
`2**3=` न्यूनतम ऋणोंत्तर शेषफल जब `2xx3=6` को 5 से भाग दिया जाता है `=1 in S`
`2**4=` न्यूनतम ऋणोंत्तर शेषफल जब `2xx4=8` को 5 से भाग दिया जाता है `=3 in S`
इसी प्रकार `3**1= 3 in , 3**e = 1 in s, 3**3= 4 in S`
`3**4= 2 in s , 4**1 = 4 in s, 4* 2 = 3 in S`
`a** b = 2 in s, 4 ** =1 in S`
`A** b in S AA a, b in S`
अतः `**` समुच्चय `S` में द्विआधारी संक्रिया है।