निम्नलिखित परिभाषित प्रत्येक द्विआधारी संक्रिय `**` के लिए निर्धारित कीजिए की क्या `**` क्रमविनिमेय है तथा क्या `**` साहचर्य है ?
(i) Z में `a**b=a-b` द्वारा परिभाषित
(ii) `Z^(+)` में `a**b=2^(ab)` द्वारा परिभाषित
(iii)`R-{-1}` में `a**b=(a)/(b+1)` द्वारा परिभाषित

Explanation

यहाँ `a** b = a- b AA a, b in Z`
क्रमविनिमेयता माना `a, b in Z` तब
`a**b=a-b`
`b**a=b-a`
`:. A**b ne b **a AA, a, b in Z`
अतः `** Z` में क्रमविनिमेय नियम का पालन नहीं करती है।
साहचर्यता : माना `a , b c, in Z` तब
`(a**b)**c=(a-b)**c=a-b-c`
और `a**(b**c)=a-(b**c)`
`=a-(b-c)=a-b+c`
`:. (a**b)**c ne (b **c) AA a, b,c in Z`
अतः `** Z` में साहचर्यता नियम का पालन नहीं करती है।
(ii) यहाँ `a** b=2^(ab) AA a, b in Z^(+)` तब
क्रमविनिमेयता माना `a, b in Z^(+)` तब
`a**b=2ab=2^(ba)=b**a`
[ `:. Z^(+)` में गुणन क्रमविनिमेय होता है]
`:. A a**b= b** a AA a, b in Z^(+)`
अतः `** Z^(+)` में क्रमविनिमेय नियम का पालन नहीं करती है।
साहचर्यता : माना `a , b c, in Z^(+)` तब
`(a**b)**c=2^(ab)**c=2^((2^(ab)xxc))`
और `a**(b**c)=a**2^(bc)=2^((a xx 2^(bc)))`
अतः `** Z^(+)` में साहचर्यता नियम का पालन नहीं करती है।
(iii) यहाँ `a**b=(a)/(b+1)AA a, b in R -{-1}`
क्रमविनिमेयता माना `a, b in Z` तब
`a**b=(a)/(b+1)` और `b**a=(b)/(a+1)`
`:. A* b ne b **a`
अतः `*R-{-1}` में क्रमविनिमेय नहीं है।
साहचर्यता : माना `a , b c, in R-{-1}` तब
` (a**b)**c=((a)/(b+1))*c`
`=((a)/(b+1))/(c+1)`
`=(a)/((b+1)(c+1))`
और `a**(b**c)=a**((b)/(c+1))`
`=(a)/((b)/(c+1)+1)`
`=(a(c+1))/(b+c+1)`
`:. (a**b)**c ne a** (b**c)`
अतः `* R-{-1}` में साहचर्य नहीं है।