माना `(A,b)(c,d) in N xxN`
`rArr a, b, c, d in N`
`rArr ac in N` और `bd in N`
`rArr (ac, bd) in N xxN`
`rArr (a,b) **(c,d) in N xx N`.
`rArr (a,b)**( c,d) in A AA (a,b), (c,d) in A`
`rArr **' A` में द्विआधारी संक्रिया है ।
क्रमविनिमेयता: माना (a,b) और `(c,d) in A` तब
`(a,b)**(c,d)=(ac,bd)`
`=(ca,db)`
`[ :. N` में गुणन क्रमविनिमेय होता है]
`=(c,d)**(a,b)`
`:. (a,b)**(c,d)=(c,d)(a,b)AA (a,b)`
`(c,d) in A`.
अतः `**,A` में क्रमविनिमेय द्विआधारी संक्रिया है।
साहचर्यता माना `(a,b),(c,d),(e,f) in A` तब
`{(a,b)*(c,d)}*(e,f)=(ac,bd)**(e,f)`
`(ace, bdf) " "...(i)`
और `(a,b)**{(c,d)**(e,f)}=(a,b)(ce,df)`
`=(ace, bdf) " " ....(2)`
समी (1)और (2) से,
`{(a,b)**(c,d)}**(e,f)=(a,b)*{(c,d)**(e,f)}`
अतः `**,A` में साहचर्य द्विआधारी संक्रिया है।
