Z में द्विआधारी संक्रिया `**` इस प्रकार परिभाषित है की-
`a**b=a+b+1 AA a, b, in Z`.
(i) Z में ततस्मक अवयव (ii) Z में एक अवयव का प्रतिलोम,

Explanation

यहाँ `a**b=a+b+1AA a , b in Z`
तत्समक अवयव: माना `Z` में तत्समक अवयव e है, तक
`a**e=a**a, AA a in Z`.
अब `a**e=a`
`rArr a+e+1=a`
`rArr e+1=0`
`rArr e=-1`
अतः `-1,Z` में `'**'` के लिए तत्समक अवयव है।
प्रतिलोम अवयव: माना `x, an in Z` की प्रतिलोम अवयव है, तब
`aa**x=e=3=x**a`
अब `a**x=e`
`rArr a+x+1=-1`
`rArr a+x=-2`
`rArr x=-a-2`
अतः `-a-2` प्रत्येक `a in Z` का प्रतिलोम अवयव है।