समुच्चय `R-{-1}` में द्विआधारी संक्रिया `**` इस प्रकार परिभाषित है की `a**b=a+b+ab AA a, b in R -{-1}` दर्शाइए की `**` क्रमविनिमेय और साहचार्य है। तत्समक अवयव ज्ञात कीजिए तथा दर्शाइए की `R-{-1}` का प्रत्येक अवयव व्युत्क्रमणीय है।

Explanation

यहाँ `a**b=a+b+ab AA a, b in R -{-1}`
क्रमविनिमेयता: माना `A, b in R-{-1}` तब
`a**b=a+b+ab`
`=a+b+ba, [ R-{-1}` में योगात्मक और गुणात्मक क्रमविनिमेय नियम से]
`=b**a`
`:. a**= b**a AA a, b in R-{-1}`
अतः `'**'R-{-1}` में क्रमविनिमेय द्विआधारी संक्रिया है।
साहचर्यता : माना `a, b , c in R-{-1}` तब
`(a**b)**c=(a+b+ab)**c`
`=(a+b+ab)+c+(a+b+ab) c`
`=a+b+c+ab+ac+bc+abc....(1)`
और
`a**(b**c)=a**(b+c+bc)`
`=a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)`
`=a+b+c+bc+ab+ac+abc...(2)`
समी (1) और (2) से,
`a**(b**c)=(a**b)**c AA a, b, c in R -{-1}`
अतः `'**'R-{-1}` में साहचर्यता द्विआधारी संक्रिया है।
(ii) तत्समक अवयव : माना `R-{-1}` में तत्समक अवयव `e`है, तब,
`a**e=a**e a AA a in R -{-1}`
अब `a**e=a`
`rArr a+e+ae=a`
`rArr a(1+a)=0`
`rArr e=0`
`[ :. a in R-{-1} rArr a ne -1 rArr a + 1 ne 0]`
अतः `O,R-{-1}` में तत्समक अवयव है।
प्रतिलोम अवयव : माना `x, a in R-{-1}` का प्रतिलोम अवयव है, जब
`a*x= e= x** a AA a in R -{-1}`
अब ` a**x=e`
`rArr a+x+ax=e`
`rArr a+x+ax=0`
`rArr a+(1+a)a=0`
`rArr (1+a)x=-a`
`rArr x=-(a)/(1+a)`
चूँकि `a in R -{-1} rArr a ne -1 rArr a+ 1 ne 0`
`rArr x=-(a)/(a+1) in R`.
पुनः `-(a)/(a+1)=-1 rArr -a =-a-1 rArr -1=0` जो की संभव नहीं है।
`rArr -(a)/(1+a) in R -{-1}`
अतः `-(a)/(a+1)` प्रत्येक `a in R -{-1}` का प्रतिलोम अवयव है।