यहाँ
`(a,b)**(c,d)=(a+c,b+d) AA (a,b) in N xx N` और `(c,d) in N xx N " "....(1)`
(i) क्रमविनिमेयता : माना (a,b) और `(c,d)in N xx N,` तब `(a,b)**(c,d)=(a+c,b+d)` [ समी (1) से]
`= (c+a,d+b)`
`[ :. N` में योगात्मक क्रमविनिमेयता से]
`=(c,d)**(a,b)`
`:. (a,b)**(c,d)=(c,d)*(a,b) AA (a,b), (c,d)`
`in N xx N`
अतः `**, NxxN` में क्रमविनिमेय का पालन करती है।
साहचर्यता : माना `(a,b),(c,d)` और `(e,f) in N xx N,` तब
`[(a,b)**(c,d)**(e,f)=(a+c,b,+d) ** (e,f),` [ समी (1) से]
` =(a+b+c,e,b+d+e)...(2)`
और
`(a,b)**[(c,d)]**(e,f)=(a,b)**[(c,d)**(e,f)]`
`AA (a,b),(c,d)` और `(e,f) in N xx N`
अतः `'**', NxxN` में साहचर्य नियम का पालन करती है।
(ii) तत्समक अवयव: माना `NxxN` में तत्समक अवयव (x,y) है।
`(a,b)**(x,y)=(a,b)AA (a,b) in N xx N`
`rArr (a+x, b+y)=(a,b) " "` [समी (1) से]
`rArr a+x=a` और `b+y=b`
`rArr x=0` और `y=0`
`rArr (x,y)=(0,0)`
पंरतु `(x,y)=(0,0) cancel in N xx N`
