ज्ञात कीजिए कि फलन `f(x)=2x^(3)-15x^(2)+36x+1`
`(i)x` के किन मानों के लिए वर्धमान है
`(ii)x` के किन मानों के लिए ह्रासमान है ?

Options

A. `(i)(3,oo)`
`(ii)(2,3)`
B. `(i)(-oo,2) uu(3,oo)`
`(ii)(2,3)`
C. `(i)(-oo,2)`
`(ii)(2,3)`
D. इनमे से कोई नहीं

Answer

B

Explanation

`f(x)=2x^(3)-15x^(2)+36 x1`
`rArr f'(x)= 6x^(2)-30 x +36`
`rArr =6(x^(2)-5x+6)`
`=6(x-2)(x-3)`

फलन f(x) के वर्धमान होने के लिए,
`f'(x)gt0`
`rArr (x-2)(x-3)gt0`
`rArr` या तो `x-2 gt 0` तथा `x-3 gt 0`
`rArr x gt 2` तथा `x gt 3`
`rArr x gt 3`
स्पष्ट है फलन, अंतराल `(3,oo)` में वर्धमान होगा।
पुनः `(x-2)(x-3) gt 0`
या तो `x- 2 lt 0` तथा `x-3 lt 0`
`rArr x lt 2` तथा `x lt 3`
`rArr x lt 2`
स्पष्ट है फलन, अंतराल `(oo,2)` में वर्धमान होगा।
अतः दिए गया फलन अंतराल `(-oo,2) uu(3,oo)` में वर्धमान होगा।
पुनः `f(x)` के एक ह्रासमान फलन होने के लिए,
`f(x)lt 0`
`rArr (x-2) (x-3) lt 0`
या तो `x-2 lt 0` तथा `x-3 gt0`
`rArr xlt 2` तथा` xgt 3,0` जो असम्भव है
या `x-2 gt 0` तथा `x-23 lt 0`
`rArr x gt 2` तथा`x lt 3`
`rArr 2 lt x lt 3`
अतः फलन f(x)) एक ह्रासमान फलन है, जबकि `2 lt x lt 3.`
अथार्त फलन f(x) अन्तराल (2,3) में ह्रासमान होगा।