x के उन मानों को ज्ञात कीजिए, जिनके लिए `y[x(x-2)]^(2)` एक वर्धमान फलन है।

Explanation

यहाँ `y=[x(x-2)]^(2)=(x^(2)-2x)^(2)`
`rArr (dy)/(dx)=2(x^(2)-2x)*(2x-2)`
`rArr (dy)/(dx)=2x(x-2)*(x-1)`
`rArr (dy)/(dx)=4x (x-2)(x-1) " "...(1)`
`:. (dy)/(dx)=0`
`rArr 4x(x-2)(x-1)=0`
`rArr x=0, x=1, x=2`
बिंदु `x=,0,1,2` किसी वास्तविक संख्या रेखा को चार असंयुक्त अंतरालों `(00,0),(0,1),(1,2)` और `(2,00)` में विभाजित करता है।

स्थिति (I) यदि `x in (oo,0)` अथार्त `-oo, lt x lt 0,` तब `x lt 0, x-1 lt 0` और `x-2 lt 0`
`rArr (dy)/(dx) lt 0 AA x in ( -oo,0)`
`rArr y` अन्तराल `(-oo,0)` में निरंतर ह्रासमान है ।
स्थिति (II) में यदि `x in (0,1)` अथार्त `0 lt x lt1` तब `x gt 0,-1 lt 0` और `x-2 lt 0`
`rArr(dy)/(dx) gt 0 AA x in (0,1)`
`rArr y` अन्तराल (0,1)में निरंतर ह्रासमान है स्थिति (III) में यदि `x in (1,2)` अथार्त `1 lt x lt 2` तब `x gt 0, x-1 lt 0` और `x-2 lt 0`
`rArr (dy)/(dx) lt 0, AAx in (0,1)`
`rArr y` अन्तराल (0,1) में निरंतर ह्रासमान है ।
स्थिति (IV) में यदि `x in 2(,oo) ` अथार्त `2 x lt oo` तब `x gt 0, x-1 gt 0` और `(x-2) gt 0`
`rArr (dy)/(dx) gt 0 AA x in (2,oo)`
`rArr` अन्तराल `(2,oo)` में निरंतर ह्रासमान है ।
अतः फलन y अन्तराल `(0,1)uu(2,oo)` में निरंतर वर्धमान है।