अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमे `f(x)=4x-6x^(2)-72x+30`
`(a)` निरंतर वर्धमान
`(b)` निरंतर ह्रासमान है।

Options

A. `(a)``(-oo,2) uu (3,oo)`
`(b)` `(-2,3)`
B. `(a)``(-oo,-2) `
`(b)` `(-2,3)`
C. `(a)``(3,oo)`
`(b)``(-2,3)`
D. `(a)``(-oo,-2) uu (3,oo)`
`(b)` `(-2,3)`

Answer

D

Explanation

यहाँ `f(x)=4x^(3)-6x^(2)-72x+30`
`:.f'(X)=12x^(2)-12x-72`
`=12(x^(2)-x-6)`
`=12(x-3)(x+2)`
अतः `f'(x)=0 rArr x=-2,3`

बिंदु `x=-2,3` वास्तविक रेखा को तीन अंसयुक्त अंतरालों `(-oo,2), (-2,3)` और `(3,oo)` में विभक्त करता है।
स्थिति (I) : अंतराल `(-oo,2)` में `(x-3) lt 0` और `(x+2) lt 0`
`:. f'(x)=12(x-3)(x+2) gt 0`
`rArr f(x)` अंतराल `(-oo,-2)` में निरंतर वर्धमान है।
स्थिति (II) अंतराल `(-2,3)` में `(x+2) lt 0` और `x-3 lt0`
`:.f'(x)=12(x-3)(x+2) lt0`
`rArr f(x)` अंतराल `(-2,3)` में निरंतर ह्रासमान है ।
स्थिति (III) अंतराल `(3,oo)` में `x-2 lt 0` और `x-3 gt 0` है।
`:. f'(x)=12(x-3)(x+2) gt0`
`rArr f(x)` अंतराल `(3,oo)` में निरंतर वर्धमान है।
अतः फलन `f(x-)`
(a) अंतराल `(-oo,-2) uu (3,oo)` में निरंतर वर्धमान और
(b) अंतराल (2,-3) में निरंतर ह्रासमान है।