अंतराल ज्ञात कीजिये जिसमे फलन `f(x)=3x^(4)-4x^(3)-12x^(2)+5`
`(a)` निरंतर वर्धमान है,
`(b)` निरंतर ह्रासमान है।

Options

A. `(a)` निरंतर वर्धमान`=(-1,0)`
`(b)` निरंतर ह्रासमान `(0,2)`
B. `(a)` निरंतर वर्धमान`=(2,oo)`
`(b)` निरंतर ह्रासमान `(0,2)`
C. `(a)` निरंतर वर्धमान`=(-1,0)uu(2,oo)`
`(b)` निरंतर ह्रासमान `(-oo,-1)uu(0,2)`
D. `(a)` निरंतर वर्धमान`=(-1,0)`
`(b)` निरंतर ह्रासमान `(-oo,-1)`

Answer

C

Explanation

यहाँ `f(x)=3x^(4)-4x^(3)-12x^(2)+5`
`rArr f'(x)=12x^(3)-12x^(2)-24x`
`rArr f'(x)=12x(x^(2)-x-2)`
`rArr f'(x)=12x[ x^(2)-2x+x-2]`
`rArr f'(x)=12 x[x(x-2)+1(x-2)]`
`rArr f'(x)=12x(x+1)(x-2)" "...(1)`
अब `f'(x)=0`
`rArr 12x(x+1)(x-2)=0`
`rArr x(x+1)(x-2)=0`
`rArr x=0 -1,2`
बिंदु `x=-1,0,2` वास्तविक रेखा को चार असंयुक्त अंतरालों `(-oo,-1),(-1,0),(0,2)` और `(2,oo)` में विभाजति करता है।

स्थिति (I): अंतराल `(-oo,1)` में `x lt 0, x+1 lt 0` और `x-2 lt 0` है।
`:. f'(x) lt 0 rArr f'(x) lt 0 rArr f(x)` अंतराल `(-oo,1)` में निरंतर ह्रासमान है।
स्थिति (II) : अंतराल `(-1,0)` में `x lt0, x+1 gt 0` और `x-2 lt 0` है
`:. f'(x) gt rArr f(x)` अंतराल `(-1,0)` में निरंतर वर्धमान है।
स्थिति (III) : अंतराल `(0,2)` में `x lt 0x+1 gt 0` और `x-2 lt 0` है|
`:.f'(x) lt 0 rArr f(x)` अंतराल (0,2) में निरंतर ह्रासमान है।
स्थिति (IV): अंतराल `(2,oo)` में `x lgt 0, x +1 gt 0` और `x-2 gt 0` है।
`:. f(x)gt 0 rArr f(x)` अंतराल `(2,oo)` में निरंतर वर्धमान है।
अतएव फलन f(x)-
अंतराल `(-1,0) uu(2,00)` में निरंतर वर्धमान है तथा
(b) अंतराल `(-oo,-1)uu(0,2)` में निरंतर ह्रासमान है।