सिद्ध कीजिए कि `f(x)= tan ^(-1)(sin x+ cos x)
xgt 0` से प्रदत्त फलन `(0,(pi)/(4))` में निरंतर वर्धमान है।

Explanation

`f(x)= tan^(-1) (sin x+cosx)`
`rArr f'(x)=(1)/(1+(sin x+ cos x)^(2)) (d)/(dx)(sin x+cosx)`
`rArr f'(x)=(1)/(1+ (sinx+ cos x)^(2)) (cos x- sin x)`
`rArr f'(x)=( cos -x- sin x)/(1+(sin ^(2) x+ cos^(2)+x+2 sin x cos x))`
`rArr f'(x)=(cos x-sinx)/(1+1+ sin2x)`
`rArr f'(x) =(cos x(1- tan x))/(2+ sin 2x) " "....(1)`
अब `x in (0, (pi)/(4))`
`rArr cos x gt, 0 2+ sin 2x gt 0`
सभी ही `x in (0,(pi)/(4))`
`rArr 0 lt tan x lt 1`
`rArr (1- tan x) gt 0`
समी (1) से,
`f'(x)= (cos x(1-tanx))/(2+ sin 2x) gt 0 AA x in (0,(pi)/(4))`
`rArr f'(x) gt 0 AA x in (0,(pi)/(4))`
`rArr f(x)` अंतराल `(0,(pi)/(4))` में निंरतर वर्धमान फलन है।