धारावाही, N फेरों और R त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के लिए इसके अक्ष पर केन्द्र से x दूरी पर स्थित किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र के लिए निम्न व्यंजक है -
`B=(mu_(0)IR^(2)N)/(2(x^(2)+R^(2))^(3//2))`
(a) स्पष्ट कीजिए, इससे कुंडली के केन्द्र पर चुंबकीय क्षेत्र के लिए सुपरिचत परिणाम कैसे प्राप्त किया जा सकता है ?
(b) बराबर त्रिज्या R एवं फेरों की संख्या N, वाली दो वृत्ताकार कुण्डलियाँ एक-दुसरे से R दूरी पर एक - दुसरे के समान्तर अक्ष मिलाकर रखी गई है दोनों में समान विधुत धारा एक ही दिशा में प्रवाहित हो रही है । दर्शाइए की कुंडलियों के अक्ष के लगभग मध्यबिंद पर क्षेत्र, एक बहुत छोटी दूरी के लिए जो की R से कम है एकसमान है और इस क्षेत्र का लगभग मान निम्न है -
`B=0xx72(mu_(0)NI)/(R)`
(बहुत छोटे से क्षेत्र पर एकसमान चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न क्षेत्र उत्पन्न करने के लिए बनायी गई ऊपर वर्णित व्यवस्था हेल्म्होल्ट्ज करने के लिए बनायी गई ऊपर वर्णिन व्यवस्था हेल्म्होल्ट्ज़ कुंडलियों के नाम से जानी है ।)

Explanation

(a) दिया है- `B=(mu_(0)IR^(2)N)/(2(x^(2)+R^(2))^(3//2))`
कुंडली के केंद्र पर `x=0`
`:." "B=(mu_(0)IR^(2)N)/(2R^(3))`
या `B=(mu_(0)IN)/(2R)`
उपरोक्त मान किसी धारावाही कुंडली के केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र के प्रामाणिक सम्बन्ध को दर्शाता है ।
चुम्बकीय क्षेत्र `B=(mu_(0)NIR^(2))/(2(R^(2)+x^(2))^(3//2))`

प्रथम कुंडली के कारण बिंदु N पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र
`B_(1)=(mu_(0)NIR^(2))/(2[R^(2)+((R)/(2)+d)^(2)]^(3//2))`
(`O_(1)N` के अनुदिश धनात्मक X-अक्ष की दिशा में द्वितीय कुंडली के कारण बिंदु N पर चुम्बकीय क्षेत्र)
`B_(2)=(mu_(0)NIR^(2))/(2[R^(2)+((R)/(2)-d)^(2)]^(3//2))`,
(`O_(2)N` के अनुदिश ऋणात्मक X-अक्ष की दिशा में)
अतः परिणामी चुंबकीय क्षेत्र
या `B=B_(1)+B_(2)`
`B=(mu_(0)NIR^(2))/(2)[(1)/({R^(2)+((R)/(2)+d)^(2)}^(3//2))+(1)/({R^(2)+((R)/(2)-d)^(2)}^(3//2))]`
`=(mu_(0)NIR^(2))/(2)[(1)/(((5R^(2))/(4)+Rd)^(3//2))+(1)/(((5R^(2))/(4)-Rd)^(3//2))]`,
[`:.dltltR` अतः `d^(2)` को नगण्य लेने पर]
`:.B=(mu_(0)NIR^(2))/(2((5R^(2))/(4))^(3//2))[(1)/(1+(4)/(5)(d)/(R))^(3//2)+(1)/((1-(4d)/(5R))^(3//2))]`
`=(mu_(0)NIR^(2))/(2((5R^(2))/(4))^(3//2))[(+(4)/(5)(d)/(R))^(-3//2)+(1-(4d)/(5R))^(-3//2)]`
`=(mu_(0)NI)/(2R)((4)/(5))^(3//2)[(1-(6d)/(5R))+(1+(6d)/(5R))]`, (द्विपदी प्रमेय से)
या `B=0*72(mu_(0)NI)/(2R)`.