`x^(2) + y^(2) + z^(2) - 4y + 3= 0` और `x^(2) + y^(2) + z^(2) + 2x + 4z - 4 = 0` गोलों पर विचार कीजिए |
निम्नलिखित कथनो पर विचार कीजिए
I. दोनों गोले परस्पर काटते है |
II. प्रथम गोले की त्रिज्या, दूसरे गोले की त्रिज्या से कम है |
उपरोक्त कथनो में से कौन-सा/से कथन सही है/है ?

Options

A. केवल I
B. केवल I
C. I और II दोनों
D. न तो I और न ही I

Answer

C

Explanation

दिए गए गोलों की समीकरण,
`x^(2) + y^(2) + z^(2) - 4uy + 3 = 0 " "…(i)`
तथा `x^(2) + y^(2) + z^(2) + 2x + 4z - 4 = 0 " "…(ii)`
उपरोक्त गोले की मानक समीकरण,
`x^(2) + y^(2) + z^(2) + 2ux + 2vy + 2wz + d= 0`
से तुलना करने पर,
`u_(1) = 0, v_(1) = 2, w_(1) = 0, d_(1) =3`
`" "` (प्रथम गोले के लिए)

तथा`u_(2) = 1, v_(2) = 0, w_(2) =2, d_(2) =-4`
`" "` ( द्वितीय गोले के लिए)
I. प्रथम गोले की त्रिज्या अर्थात `r_(1) = sqrt(u_(1)^(2) + v_(1)v^(2) + w_(1)^(2) - d_(1))`
`= sqrt((0)^(2) + (2)^(2) + (0)^(2) -(3))`
`= sqrt(4-3) = sqrt(1) =1`
द्वितीय गोले की त्रिज्या, अर्थात
`r_(2) = sqrt(u_(2)^(2) + v_(2)^(2) + w_(2)^(2) - d_(2))`
`=sqrt((-1)^(2) + (0)^(2) + (-2)^(2) + (4))`
`=sqrt(1+ 4+ 4) = sqrt(9) =3`
अब, `r_(1) + r_(2) = 1 + 3= 4`
`because c_(1)c_(1) lt r_(1) + r_(2)`
अतः दोनों गोले परस्पर एक-दूसरे को काटते है |
II. `because` प्रथम गोले की त्रिज्या `(r_(1)) =1`
तथा द्वितीय गोले की त्रिज्या `(r_(2)) =3`
अतः प्रथम गोले की त्रिज्या, द्वितीय गोले की त्रिज्या से कम है |