निम्नलिखित प्रश्नो को हल करे

I. यदि `tan y = (2 t)/ (1 − t^ (2))` तथा `sin x = (2 t)/ (1 + t^ (2))` हो तो `(d y)/ (d x)` का मान 2 होगा |
II. यदि `x^(2)+y^(2)=t-(1)/(t)` तथा `x^(4)+y^(4)=t^(2)+(1)/(t^(2))` हो तो `x^( 3) y (dy)/(dx)` का मान ज्ञात कीजिये |
III. यदि `xy=(x+y)^(n)` तथा `(dy)/(dx)=(y)/(x)` हो तो n का मान ज्ञात कीजिये |

Explanation

I. दिया हैं
`x^(2)+y^(2)=t-(1)/(t)....(1)`

`x^(4)+y^(4)=t^(2)+(1)/(t^(2))....(2)`

समीकरण 1 से

`(t-(1)/(t))^(2)=x^(4)+y^(4)+2x^(2)y^(2)`

`t^(2)+(1)/(t^(2))-2=x^(4)+y^(4)+2x^(2)y^(2)`

`x^(4)+y^(4)-2=x^(4)+y^(4)+2x^(2)y^(2)`

`:." "x^(2)y^(2)=-1` . . . (i)

`rArrx^(2)*2y(dy)/(dx)+y^(2)*2x=0`

`rArrx^(3)y(dy)/(dx)=-x^(2)y^(2)`

`(dy)/(dx)=1`

II. दिया हैं

`xy=(x+y)^(n)`
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,

`logx+logy=nlog(x+y)`

अवकलन करने पर,

`(1)/(x)+(1)/(y)(dy)/(dx)=(n)/(x+y)(1+(dy)/(dx))`

`rArr((1)/(y)-(n)/(x+y))(dy)/(dx)=(n)/(x+y)-(1)/(x)`

`rArr(dy)/(dx)=(y)/(x)*((nx-x-y)/(x+y-ny)).....(1)`

अब चूंकि दिया हैं `(dy)/(dx)=(y)/(x)`

अतः समीकरण 1 से

` ((nx-x-y)/(x+y-ny))=1`

`nx-x-y=x+y-ny`
`nx+ny=x+y+x+y`
`n(x+y)=2(x+y)`
`n=2`