अनन्त गुणोत्तर श्रेणी के पदों का योगफल `2` है और उनके घनों से बनी गुणोत्तर का योगफल `24` है, तब इस गुणोत्तर श्रेणी का
प्रथम चार पदों का योगफल होगा

Options

A. `80/51`
B. `81/64`
C. `81/65`
D. इनमे से कोई नहीं

Answer

B

Explanation

प्रथम चार पदों का गुणनफल
`=3xx(-3/2)xx3/4xx(-3/4)=81/64`
माना गुणनफल श्रेणी का पहला पद a तथा सार्वानुपात r है तथा माना गुणोत्तर श्रेणी में n पद है ।
तब, प्रश्नानुसार, `a_1+a_n=66`
`rArr" "a+ar^(n-1)=66" ...(i)"`
तथा `a_2xxn_(n-1)=128`
`rArr" "arxxar^(n-2)=128`
`rArr" "a^2xxr^(n-1)=128`
`rArr" "axx(ar^(n-1))=128`
`rArr" "ar^(n-1)=128/a" ...(ii)"`
सभी (i) तथा (ii) से,
`a+128/a=66`
`rArr" "a?^2-66a+128=0`
`rArr" "(a-2)(a-64)=0`
`rArr" "a=2,64`
यदि `a=64`, तो समय (i)
`64+64r^(n-1)=66`
`rArr" "r^(n-1)=1/32`
वर्धमान गुणोत्तर श्रेणी के लिए, `rgt1`
`rArr" "2((r^2-1)/(r-1))=126`
`rArr" "(r^2-1)/(r-1)=63`
`rArr" "((r^(n-1)xxr)-1)/(r-1)=63`
`rArr" "(32r-1)/(r-1)=63[because r^(n-1)=32]`
`rArr" "31r=62rArrr=2`
`:." "r^(n-1)=32rArr2^5=32`
`rArr" "n-1=5rArrn=6`
तथा हसमाँ गुणोत्तर श्रेणी के लिए, `rgt1`
`a=64,r=1/2`
अन्नत पदों का योगफा `=a/(1-r)=64/(1-1/2)=128`
यदि `a=2,r=2`
तो श्रेणी के पद `2, 4, 8, 16, 32 , 64` है
यदि `a=64, r=1/2`
तो गुणोत्तर श्रेड़ी पद `64, 32, 16, 8, 4, 2` है