माना `S_n` एक समांतर श्रेणी के प्रथम `n` पदों के योगफल को निरूपित करता है और `3S_n=S_(2n)` है । तब `S_(3n):S_n` ज्ञात कीजिये

Options

A. `4:1`
B. `6:1`
C. `8:1`
D. `10:1`

Answer

B

Explanation

दिया है ,
`S_n=n/2[2a+(n-1)d]``.....(1)`

`S_(2n)=(2n)/2[2a+(2n-1)*d]` `......(2)`

तथा
`S_(3n)=(3n)/2[2a+(3n-1)*d]` `.....(3)`

प्रश्न से-
`3S_n=S_(2n)`

`rArr3[n/2{2a+(n-1)*d}]``=2[n/2{2a+(2n-1)*d}]`

`rArr" "3[2a+(n-1)d]``=2[2a+(2n-1)d]`

`rArr" "6a-4a``=4nd-2d-3nd+3d`

`rArr" "2a``=nd+d`

यह मान समीकरण 1, 2, 3 में रखने पर

`rArr" "S_n=n/2[nd+d+nd-d]`
`=n/2xx2nd`
`rArr" "S_n=n^2d`

अब ,
`S_(2n)``=n[d(n+1)+(2n-1)*d]`
`S_(2n)``=n[nd+d+2nd-d]`
`S_(2n) ``=3n^2d`

तथा
`S_(3n)``=(2n)/2[nd+d+(3n-1d)]`
`S_(3n)=(3n)/2[nd+d+3nd-d]`
`=(3n)/2xx4nd`

`:." "S_(3n)/S_(n)=(6n^2d)/(n^2d)``=6/1`

`rArrS_(3n):S_(n)=6:1`