गॉस का प्रमेय लिखिए तथा सिद्ध कीजिए |

Explanation

गॉस का प्रमेय-किसी बन्द पृष्ठ से गुजरने वाला सम्पूर्ण विधुत फ्लक्स उस बन्द पृष्ठ के अन्दर उपस्थित कुल आवेश का `(1)/(epsilon_(0))` गुना होता है |
यदि किसी बन्द पृष्ठ के अन्दर उपस्थित कुल आवेश q हो, तो गॉस के प्रमेय के अनुसार उस पृष्ठ से गुजरने वाले विधुत फ्लक्स
`phi_(E)=(1)/(E).q`
व्युत्पत्ति - मानलो एक बन्द पृष्ठ S के अन्दर बिन्दु O पर +q आवेश रखा है | बिन्दु O से r दुरी पर कोई बिन्दु P है |
तब बिन्दु P पर विधुत क्षेत्र की तीव्रता
`E=(1)/(4piepsilon_(0)).(q)/(r^(2))" "...(1)`

इसकी दिशा `vec(OP)` के अनुदिश होगी |
अब बिन्दु P के घेरे हुए अल्प पृष्ठ ds की कल्पना करो | इसके क्षेत्रफल `vec(ds)` की दिशा उस पर खींचे गये अभिलम्ब PN की अनुदिश होगी |
अत: पृष्ठ ds से गुजरने वाला विधुत फ्लक्स
`d phi_(E)=vec(E).vec(ds)="E"ds cos theta`
जहाँ `theta, vec(E)` और `vec(ds)` का मध्य कोण है |
समीकरण (1) से मान रखने पर,
`d phi_(E)=(1)/(4pi epsilon_(0)).(q)/(r^(2))ds cos theta`
`=(q)/(4piepsilon_(0)).(ds cos theta)/(r^(2))=(q)/(4piepsilon_(0)).d omega" "...(2)`
जहाँ `d omega=(ds cos theta)/(r^(2))=" पृष्ठ ds द्वारा बिन्दु O पर बनाया गया घन कोण |"`
अत: बन्द पृष्ठ S से गुजरने वाला सम्पूर्ण विधुत फ्लक्स
`phi_(E)=oint vec(E).vec(ds)=oint(q)/(4piepsilon_(0))d omega" "[oint" बंद पृष्ठ समाकलन का चिन्ह है"]`
`=(q)/(4piepsilon_(0))oint d omega" "...(3)`
परन्तु सम्पूर्ण बन्द पृष्ठ द्वारा उसके अन्दर स्थित किसी बिन्दु पर बनाया गया घन कोण `4pi` होता है |
`:." "oint d omega=4pi`
समीकरण (3) में मान रखने पर,
`phi_(E)=(q)/(4piepsilon_(0))xx4pi`
`phi_(E)=(q)/(epsilon_(0))" "...(4)`