प्रकाश के व्यतिकरण के व्दि - स्लिट प्रयोग में प्रकाश की अधिकतम तथा न्यूनतम तथा तीव्रता के लिए शर्ते ज्ञात कीजिए।

Explanation

मानलो एक ही आवृत्ति की दो तरंगे एक ही दिशा में गमन कर रही हैं । उनके समी. निम्नलिखित हैं -
`y_(1) = a_(1)sinomegat` ....(1)
`y_(2) = a_(2)sin (omega t + phi)` .....(2)
जहाँ `a_(1) "और" a_(2)` उनके आयाम तथा `theta` उनके मध्य कलान्तर हैं ।
प्रत्येक तरंग की आवृत्ति `v = (omega)/(2 pi)`
यदि दोनों तरंगें माध्यम के किसी बिंदु पर एक साथ पहुँचे तो अध्यारोपण के सिद्धांत से ,
`y = y_(1) + y_(2)`
या `y = a_(1)sinomega t + a_(2) sin(omega t + phi)`
या ` y = a_(1) sin omega t + a_(2) sin omega t cos phi + a_(2) cos omega t sin phi`
या ` y = (a_(1) + a_(2) cos phi ) sin omega t + a_(2) sin phi cos omega t ` .....(3)
अब मान लो
`a_(1) + a_(2) cos phi = R cos phi ` ....(4)
`a_(2) sin phi = R sin theta` ...(5)
जहाँ R और `theta` नये नियतांक हैं ।
समी (3) में मान रखने पर ,
`y = R cos theta sin omega t + R sin theta cos omega t `
या `y = R sin (omega t + phi)` ....(6)
समी. (6) परिणामी तरंग को प्रदर्शित करता हैं , जिसका स्वरुप अध्यारोपित तरंगों के समान ही है । अतः R परिणामी आयाम होगा ।
समी. (4) और (5) को वर्ग करके जोड़ने पर ,
`R^(2)cos^(2)theta + R^(2)sin^(2)theta = (a_(1) + a_(2) cos phi)^(2) + (a_(2) sin phi)^(2)`
या `R_(2)cos^(2)theta + sin^(2) theta) = a_(1)^(2) + 2a_(1)a_(2)cosphi + a_(2)^(2)cos^(2)phi + a_(2)^(2)sin^(2)phi`
या `R^(2) = a_(1)^(2) + 2a_(1)a_(2)cosphi+ a_(2)^(2)`
या `R^(2) = a_(1)^(2) + a_(2)^(2) + 2a_(1)a_(2)cosphi`
तीव्रता I आयाम R के वर्ग के अनुक्रमानुपाती होती हैं ।
परिणामी तीव्रता `I = K (a_(1)^(2) + a_(2)^(2) + 2a_(1)a_(2)cosphi)` ...(7)
जहाँ K एक आनुपातिक नियतांक हैं ।
समी. (7) से स्पष्ट हैं कि परिणामी तीव्रता दोनों तरंगों के कलान्तर पर निर्भर करती हैं ।
संपोषी व्यतिकरण के लिए शर्त - समी. (7) से स्पष्ट हैं कि अधिकतम तीव्रता के लिए ,
`cosphi = 1`
या `phi = 2pir = 2pin`, (जहाँ n = 0,1,2,3,4,......)
अतः जिन बिंदुओं पर व्यतिकरण करने वाली तरंगें समान कला में मिलती हैं अर्थात् उनके मध्य कलांतर 0 या `pi` का सम गुणक होता हैं , उन बिंदुओं पर परिणामी तीव्रता अधिकतम होती हैं ।
इस प्रकार , `I_(max) = K(a_(1)^(2) +a_(2)^(2) + 2a_(1).l_(2))`
`K(a_(1) + a_(2))^(2)`
यदि संपोषी व्यतिकरण के लिए पथांतर `Delta` हो , तो
`Delta = (pi)/(2pi) xx phi`
= `(pi)/(2pi)(2n -1 ) pi`
`= (2n -1)(pi)/(2) = (pi)/(2)` का विषम गुणक ।
संपोषी व्यतिकरण की स्थिति में परिणामी तीव्रता के लिए व्यंजक -
समी. (7) में `cos phi = 1` रखने पर ,
`I = K(a_(1)^(2) + a_(2)^(2) + 2a_(1)a_(2)) = K(a_(1) + a_(2))^(2)`
यदि `a_(1) = a_(2) = a ` हो , तो
`I = K (a + a)^(2) "या" I = 4ka^(2).`
विनाशी व्यतिकरण की स्थिति में परिणामी तीव्रता के लिए व्यंजक -
समी. (7) में `cosphi = -1` रखने पर ,
`I = K(a_(1)^(2) + a_(2)^(2) -2a_(1)a_(2)) = K(a_(1) - a_(2))^(2)`
यदि `a_(1) = a_(2) = a`
`I = K(a - a)^(2) = 0.`