यंग के द्विस्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई के लिए व्यंजक व्युत्पन्न कीजिये।

Explanation

मान लो S एक स्लिट है जो एकवर्णी प्रकाश स्त्रोत से प्रकाशित है । `S_(1)` और `S_(2)` एक - दूसरे के समीप दो स्लिटें है जो S के समान्तर हैं तथा S के समान्तर हैं तथा S से बराबर दूरी पर स्थित हैं । अतः `S_(1)` और `S_(2)` दो कला - संबद्ध स्त्रोत की तरह कार्य करेंगे ।
मान लो `S_(1)S_(2) = d `
मान लो दोनों स्त्रोतों `S_(1) "और" S_(2)` से D दूरी पर एक पर्दा XY हैं , जिस पर व्यतिकरण फ्रिंजें बनती हैं ।
पर्दे पर बिंदु `O_(1)` दोनों स्त्रोतों `S_(1) "और" S_(2)` से बराबर दूरी पर हैं । अतः इस बिंदु पर दोनों स्त्रोतों से चलकर पहुँचने वाली तरंगों के मध्य पथांतर शून्य होगा । फलस्वरुप बिंदु `O_(1)` पर तीव्रता अधिकतम होगी ।
मान लो पर्दे पर बिंदु `O_(1)` से x दूरी पर एक बिंदु P हैं । `S_(1) "और" S_(2)` से पर्दे XY पर `S_(1)Q "और" S_(2)R` लम्ब डालो । मान लो `S_(1) "और" S_(2)` का मध्य बिंदु O हैं । तब S, O और `O_(1)` एक ही रेखा पर होंगे ।

`PQ = O_(1)P - O_(1)Q = O_(1)P-OS_(1) = x - (d)/(2)`
`PR = O_(1)P - O_(1)R = O_(1)P-OS_(2) = x + (d)/(2)`
समकोण `Delta PQS_(1)` में
`S_(1)P^(2) = S_(1)Q^(2) + PQ^(2)`
` = D^(2) + (x - (d)/(2))^(2)`
इसी तरह समकोण `Delta PRS_(2)` में ,
`S_(2)P^(2) = S_(2)R^(2) + PR^(2) = D^(2) + (x + (d)/(2))^(2)`
`S_(2)P^(2) - S_(1)P^(2) = D^(2) + (x + (d)/(2))^(2) - [ D^(2) + (x - (d)/(2))^(2)]`
`= D^(2) + x^(2) +xd +(d^(2))/(4) - D^(2) - x^(2) + xd - (d^(2))/(4)`
या `S_(2)P^(2) - S_(1)P^(2) = 2 xd`
या `(S_(2)P + S_(1)P)(S_(2)P - S_(1)P)` = 2 xd
या `S_(2)P - S_(1)P = (2xd)/(S_(2)P + S_(1)P)`
परंतु `S_(2)P = S_(1)P = D` (लगभग ) (क्योंकि व्यवहार में बिंदु P बिंदु `D_(1)` के अत्यंत निकट होता हैं ।)
`S_(2)P - S_(1)P = (2xd)/(2D)`
अर्थात् पथान्तर `S_(2)P - S_(1)P = (xd)/(D)`
(i) दीप्त फ्रिन्जें (Bright Fringes) - अधिकतम तीव्रता के लिए व्यतिकरण करने वाली तरंगों के मध्य पथान्तर `(lamda)/(2)` का समगुणक होता हैं ।
`therefore (xd)/(D) = 2n , (lamda)/(2)`
या `(xd)/(D) = n (lamda)`
`x = (n lamdaD)/(d)` ...(2)
जहाँ n = 0,1,2,3,....
समीकरण (2) में n = 0 रखने पर केंद्रीय दीप्त फ्रिन्ज की स्थिति प्राप्त होती हैं । इसे शून्य क्रम फ्रिंज कहते हैं ।
n = 1,2,3,.... रखने पर क्रमशः प्रथम , व्दितीय , तृतीय , ...... दीप्त फ्रिंजों की स्थितियाँ प्राप्त होती हैं ।
(ii) अदीप्त फ्रिंजें (Dark Fringes) - न्यूनतम तीव्रता के लिए व्यतिकरण करने वाली तरंगों के मध्य पथान्तर `(lamda)/(2)` का विषम गुणक होता हैं ।
पथांतर `(xd)/(D) = (2n -1)(lamda)/(2)` (जहाँ n = 1,2,3....)
या `x = ((2n -1)lamdaD)/(2d)` .....(3)
अतः दो क्रमागत दीप्त फ्रिंजों के बीच की दूरी अर्थात् अदीप्त फ्रिंज की चौड़ाई ,
`x_(n+1)-x_(n) = ((n +1)lamda D)/(d)- (nlamdaD)/(d) = (lamda D)/(d)`...(4)
इस तरह यदि केंद्रीय फ्रिंज O से nवीं और (n + 1) वीं अदीप्त फ्रिंजों की दूरियों क्रमशः `x_(n)"और"x_(n+1)` हों , तो
`x_(n) = ((2n -1)Dlamda)/(2d)`
तथा `x_(n+1) = ((2n +1)Dlamda)/(2d)`
अतः दो क्रमागत अदीप्त फ्रिंजो के बीच की दूरी अर्थात् दीप्त फ्रिंज की चौड़ाई ,
`x_(n+1) - x_(n) = ((2n +1)Dlamda)/(2d) - ((2n -1)Dlamda)/(2d)` ...(5)
समी. (4) और (5) से स्पष्ट है कि दीप्त और अदीप्त फ्रिंजों की चौड़ाई एकसमान होती हैं ।
इस तरह फ्रिंज चौड़ाई `beta = (Dlamda)/(d)`. यही अभीष्ट व्यंजक हैं ।