यदि `A = [(0,1),(0,0)]`, सभी `n in N` के लिए सभीत करे कि `(aI + bA)^(n)=a^(n)I+na^(n-1)bA`. जहाँ I, 2 कोटिवाला ततसमक आव्यूह है ।

Explanation

यहाँ हम गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करेंगे ।
माना कि `P(n):(aI+bA)^(n)=a^(n)I+na^(n-1)bA`,
जहाँ `A=[(0,1),(0,0)]` तथा `I=[(1,0),(0,1)]`
स्पष्टत: `A^(2)=A.A=[(0,1),(0,0)][(0,1),(0,0)]=[(0,0),(0,0)]=O`
जब `n=1, L.H.S. = (aI+bA)^(1)=aI + bA = a^(1)I+1.a^(0)bA = R.H.S.`
`therefore" "P(1) "सत्य है"" "...(A)` माना कि P(m) सत्य है `rArr" "(aI+bA)^(m)=a^(m)I+ma^(m-1)bA" "...(1)`
साबित करना है कि P(m + 1) सत्य है
अर्थात, `(aI+bA)^(m+1)=a^(m+1)I+(m+1)a^(m)bA" "...(2)`
(2) के दोनों पक्षों को aI + bA, से बाएँ तरफ गुणा करने पर,
`(aI+bA)^(m+1)=(aI+bA).(aI+bA)^(m)`
`= (aI+bA).(a^(m)I+ma^(m-1)bA)" "["(1) से"]`
`= aI(a^(m)I+ma^(m-1)bA)+bA(a^(m)I+ma^(m-1)bA)`
`= a^(m+1)I=ma^(m)bA+a^(m)bA+ma^(m-1)b^(2)A^(2)" "[because I.I = "I तथा IA" = A = AI]`
`= a^(m+1)I+(m+1)a^(m)bA" "[because A^(2)=O]`
अत: P(m) सत्य होने पर P(m + 1) भी सत्य होगा । `" "`...(B)
(A) और (B) से गणितीय आगमन सिद्धांत से P(n), सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए सत्य है ।