यदि A = [(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)], तो सि...

यदि `A = [(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)]`, तो सिध्द करे कि `A^(n)=[(3^(n-1),3^(n-1),3^(n-1)),(3^(n-1),3^(n-1),3^(n-1)),(3^(n-1),3^(n-1),3^(n-1))]` प्रत्येक धन पूर्णांक n के लिए

लिखित उत्तर

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यहाँ हम गणितीय आगमन सिद्धांत का प्रयोग करेंगे ।
माना कि `P(n):A^(n) = [(3^(n-1),3^(n-1),3^(n-1)),(3^(n-1),3^(n-1),3^(n-1)),(3^(n-1),3^(n-1),3^(n-1))]`
जब `n = 1, L.H.S. = A^(1) = A = [(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)]`
तथा `R.H.S. = [(3^(1-1),3^(1-1),3^(1-1)),(3^(1-1),3^(1-1),3^(1-1)),(3^(1-1),3^(1-1),3^(1-1))]=[(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)]`
अत: P(1) सत्य है `" "`...(A)
माना कि P(m) सत्य है `rArr" "A^(m)=[(3^(m-1),3^(m-1),3^(m-1)),(3^(m-1),3^(m-1),3^(m-1)),(3^(m-1),3^(m-1),3^(m-1))]" "...(1)`
साबित करना है कि P(m + 1) सत्य है, अर्थात, `A^(m+1)=[(3^(m),3^(m),3^(m)),(3^(m),3^(m),3^(m)),(3^(m),3^(m),3^(m))]`
किस आव्यूह के धन पूर्णांक घात के परिभाषा से,
`A^(m+1)=A^(m).A=[(3^(m-1),3^(m-1),3^(m-1)),(3^(m-1),3^(m-1),3^(m-1)),(3^(m-1),3^(m-1),3^(m-1))][(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)]" "["(1) से"]`
`=[(3^(m-1)+3^(m-1)+3^(m-1),3^(m-1)+3^(m-1)+3^(m-1),3^(m-1)+3^(m-1)+3^(m-1)),(3^(m-1)+3^(m-1)+3^(m-1),3^(m-1)+3^(m-1)+3^(m-1),3^(m-1)+3^(m-1)+3^(m-1)),(3^(m-1)+3^(m-1)+3^(m-1),3^(m-1)+3^(m-1)+3^(m-1),3^(m-1)+3^(m-1)+3^(m-1))]`
`= [(3.3^(m-1),3.3^(m-1),3.3^(m-1)),(3.3^(m-1),3.3^(m-1),3.3^(m-1)),(3.3^(m-1),3.3^(m-1),3.3^(m-1))]=[(3^(m),3^(m),3^(m)),(3^(m),3^(m),3^(m)),(3^(m),3^(m),3^(m))]`
अत: P(m) सत्य होने पर P(m + 1) भी सत्य होगा । `" "`...(B)
(A) तथा (B) से, गणितीय आगमन के सिद्धांत से स्पष्ट है कि P(n) सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए सत्य है ।

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