प्रारंभिक संक्रियाओं का प्रयोग कर निम्नलिखित आव्यूहों के प्रतिलोम, यदि इसका अस्तित्व है, निकाले ।
(i) `[(2,5),(1,3)]`
(ii) `[(2,-6),(1,-2)]`

Explanation

(i) माना कि `A=[(2,5),(1,3)]`
`A^(-1)` निकालने के लिए हम (elementary row transformations) का प्रयोग करते हैं । इसके लिए हम `A = IA = I_(2)A` लेकर चलते हैं ।
तो, `[(2,5),(1,3)]=[(1,0),(0,1)]A`
`rArr" "[(1,2),(1,3)]=[(1,-1),(0,1)]A" "[R_(1)rarr R_(1)-R_(2)"का प्रयोग करने पर"]`
`rArr" "[(1,2),(0,1)]=[(1,-1),(-1,2)]A" "[R_(2)rarr R_(2)-R_(1)"का प्रयोग करने पर"]`
`rArr" "[(1,0),(0,1)]=[(3,-5),(-1,2)]A" "[R_(1)rarr R_(1)-2R_(2)"का प्रयोग करने पर"]`
`rArr" "I=BA`, जहाँ `B=[(3,-5),(-1,2)]" "therefore" "A^(-1)=B=[(3,-5),(-1,2)]`
Note : `A^(-1)` को निकालने के लिए स्तम्भ प्रारंभिक संक्रिया का भी प्रयोग कर सकते हैं लेकिन तब हमे A = AI लेकर चलना होगा ।
(ii) माना कि `A = [(2,-6),(1,-2)]`
इस प्रश्न में हम `A^(-1)` प्राप्त करने के लिए स्तम्भ रूपांतरण (column transformation) का प्रयोग करते हैं । इसके लिए हम `A = AI = AI_(2)` से शुरू करते हैं ।
तो, `[(2,-6),(1,-2)]=A[(1,0),(0,1)]`
`rArr" "[(1,-6),((1)/(2),-2)]=A[((1)/(2),0),(0,1)]" "[C_(1)rarr (1)/(2)C_(1)"का प्रयोग करने पर"]`
`rArr" "[(1,0),((1)/(2),1)]=A[((1)/(2),3),(0,1)]" "[C_(2)rarr C_(2) + 6C_(1) "का प्रयोग करने पर"]`
`rArr" "[(1,0),(0,1)]=A[(-1,3),(-(1)/(2),1)]" "[C_(2)rarr C_(1) - (1)/(2)C_(2) "का प्रयोग करने पर"]`
`rArr" "I = AB`, जहाँ `B = [(-1,3),(-(1)/(2),1)]`
अत: `A^(-1)=B=[(-1,3),(-(1)/(2),1)]`
Note : (1) `A^(-1)` को निकालने के लिए हम पंक्ति प्रारंभिक संक्रिया का भी प्रयोग कर सकते हैं लेकिन तब समीकरण A = IA लेकर चलना होगा ।
(2) यदि एक या अधिक पंक्ति प्रारंभिक संक्रियाओं का प्रयोग करने पर बाएँ पक्ष के आव्यूह में एक या अधिक पंक्ति के सभी अवयव शून्य हो जाएँ, तो `A^(-1)` का अस्तित्व नहीं होगा ।