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Class 12
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प्रारंभिक रूपांतरण का प्रयोग कर निम्नलिख...

प्रारंभिक रूपांतरण का प्रयोग कर निम्नलिखित आव्यूह का प्रतिलोम निकाले ।
`A=[(0,1,2),(1,2,3),(3,1,1)]`

लिखित उत्तर

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हम `A^(-1)` निकालने के लिए पंक्ति संक्रिया (row operation) का प्रयोग करते हैं । इसके लिए हम `A = I_(3)A` से शुरू करते हैं ।
`rArr" "[(0,1,2),(1,2,3),(3,1,1)]=[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]`
`rArr" "[(1,2,3),(0,1,2),(3,1,1)]=[(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1)]A" "[R_(1) harr R_(2)"का प्रयोग करने पर"]`
`rArr" "[(1,2,3),(0,1,2),(0,-5,-8)]=[(0,1,0),(1,0,0),(0,-3,1)]A" "[R_(3) rarr R_(3) - 3R_(1) "का प्रयोग करने पर"]`
`rArr" "[(1,0,-1),(0,1,2),(0,-5,-8)]=[(-2,1,0),(1,0,0),(0,-3,1)]A" "[R_(1) rarr R_(1) - 2R_(2) "का प्रयोग करने पर"]`
`rArr" "[(1,0,-1),(0,1,2),(0,0,2)]=[(-2,1,0),(1,0,0),(5,-3,1)]A" "[R_(3) rarr R_(3) + 5 R_(2) "का प्रयोग करने पर"]`
`rArr" "[(1,0,-1),(0,1,2),(0,0,1)]=[(-2,1,0),(1,0,0),((5)/(2),(-3)/(2),(1)/(2))]A" "[R_(3) rarr (1)/(2) R_(3) "का प्रयोग करने पर"]`
`rArr" "[(1,0,0),(0,1,2),(0,0,1)]=[((1)/(2),(-1)/(2),(1)/(2)),(1,0,0),((5)/(2),(-3)/(2),(1)/(2))]A" "[R_(1) rarr R_(1) + R_(3) "का प्रयोग करने पर"]`
`rArr" "[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]=[((1)/(2),(-1)/(2),(1)/(2)),(-4,3,-1),((5)/(2),(-3)/(2),(1)/(2))]A" "[R_(2) rarr R_(2) - 2R_(3) "का प्रयोग करने पर"]`
`rArr" "I_(3) = BA`, जहाँ `B = [((1)/(2),(-1)/(2),(1)/(2)),(-4,3,-1),((5)/(2),(-3)/(2),(1)/(2))]=A^(-1)`
Second method : हम `A^(-1)` निकालने के लिए स्तम्भ प्रारंभिक संक्रिया का प्रयोग भी कर सकते हैं । इसके लिए हम `A = AI_(3)` से शुरू करते है ।
`rArr" "[(0,1,2),(1,2,3),(3,1,1)]=A[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]`
`rArr" "[(1,0,2),(2,1,3),(1,3,1)]=A[(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1)]" "[C_(1) harr C_(2) "का प्रयोग करने पर"]`
`rArr" "[(1,0,0),(2,1,-1),(1,3,-1)]=A[(0,1,0),(1,0,-2),(0,0,1)]" "[C_(3) rarr C_(3) - 2C_(1) "का प्रयोग करने पर"]`
`rArr" "[(1,0,0),(2,1,0),(1,3,2)]=A[(0,1,1),(1,0,-2),(0,0,1)]" "[C_(3) rarr C_(3) + C_(2) "का प्रयोग करने पर"]`
`rArr" "[(1,0,0),(2,1,0),(1,3,1)]=A[(0,1,(1)/(2)),(1,0,-1),(0,0,(1)/(2))]" "[C_(3) rarr (1)/(2) C_(3) "का प्रयोग करने पर"]`
`rArr" "[(1,0,0),(0,1,0),(-5,3,1)]=A[(-2,1,(1)/(2)),(1,0,-1),(0,0,(1)/(2))]" "[C_(1) rarr C_(1) - 2C_(2) "का प्रयोग करने पर"]`
`rArr" "[(1,0,0),(0,1,0),(0,3,1)]=A[((1)/(2),1,(1)/(2)),(-4,0,-1),((5)/(2),0,(1)/(2))]" "[C_(1) rarr C_(1) + 5C_(3) "का प्रयोग करने पर"]`
`rArr" "[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]=A[((1)/(2),-(1)/(2),(1)/(2)),(-4,3,-1),((5)/(2),-(3)/(2),(1)/(2))]" "[C_(2) rarr C_(2) - 3C_(3) "का प्रयोग करने पर"]`
`rArr" "I_(3)=AB`, जहाँ `B = [((1)/(2),-(1)/(2),(1)/(2)),(-4,3,-1),((5)/(2),-(3)/(2),(1)/(2))]=A^(-1)`
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