गणितीय आगमन सिद्धांत से सिद्ध कीजिये की
`7+77+777+...777...7(n-`अंक)`=7/81(10^(n+1)-9n-10)`

Explanation

माना P(n):`7+77+777+...+777...7=(7)/(81)(10^(n+1)-9n-10)`
चरण 1 n=1 के लिए
बायाँ पक्ष =P(1)=7
दायाँ पक्ष `=7/81(10^(1+1)-9xx1-10)=7/81(100-9-10)=7/81(100-19)=(7x81)/(81)=7`
`rarr` P(n),n=1 की लिए सत्य है
चरण 2 माना P(n),n=m की लिए सत्य है
अथार्त 7+77+777+..7`=7/81(10^(m+1)-9m-10)`
चरण 3 P(n),n=m+1 की लिए सत्य सिद्ध करने के लिए हम सिद्ध करेंगे की `7+77+777+..+777...7=7/81[(10^(m+2)-9(m+1)-10)]`
समीकरण (i) के दोनों पक्षों में 777....7 जोड़ने पर 7+77+..777...7 +777...7
`=7/81[10^(m+1)-9m-10]+777...7(m+1)`
`=7/81[10^(m+1)(1+9)-9(m+1)-10)`
`=7/81[10^(m+2)-9(m+1)-10]`
`rarr P(n),n=m+1` के लिए सत्य है
इसलिए गणितीय आगमन सिद्धांत से यह निष्कर्ष निकलता है की `P(n),n in N` की सभी मानो के लिए सत्य है