गणितीय आगमन सिद्धांत से सिद्ध कीजिये की
`(n^(5))/(5)+(n^(3))/(3)+(7n)/(15)` सभी `n in N` की लिए एक प्राकृत संख्या है

Explanation

माना `P(n):(n^(7))/(7)+(n^(5))/(5)+(2)/(3)n^(3)-(n)/(105)` एक पूर्णांक है
चरण 1 n=1 के लिए `P(1):(1)^(7)/(7)+(1)^(5)/(5)+2/3(1)^(3)-(1)/(105)=(15+21+70-1)/(105)=(105)/(105)=1`
जोकि एक पूर्णांक है
अथार्त P(n),n=1 के लिए सत्य है
चरण 2 माना P(n),n=m के लिए सत्य है
अथार्त `P(m):(m^(7))/(7)+(m^(5))/(5)+(2)/(3)m^(3)-(m)/(105)` एक पूर्णक है
चरण 3 अब `(m+1)^(7)/(7)+(m+1)^(5)/(5)+2/3(m+1)^(3)-(m+1)/(105)`
`=1/7(m^(7)+7m^(6)+2lm^(5)+35m^(4)+35m^(3)+35m^(3)+2l m ^(2)+7m+1)`
`=k+m^(6)+3m^(5)+6m^(4)+7m^(2)+4m+1`
=एक पूर्णक
अथार्त `P(m+1):(m+1)^(7)/(7)+(m+1)^(5)/(5)+2/3(m+1)^(3)-(m+1)//(105)` एक पूर्णक है
`rarr` P(n),n=m+1 की लिए भी सत्य है
इसलिए गणितीय आगमन सिद्धांत से यह निकृष्ठ निकलता है है `P(n),n in N` की सभी मानो के लिए सत्य है