यदि मूलबिंदु से रेखाओं `x sec theta -ycosec theta =k ` तथा ` xcos theta -ysin theta = kcos2 theta ` पर डाले गये लम्ब की लम्बाई क्रमशः p तथा q है तो सिद्ध कीजिए की-
` " " 4p^(2) +q^(2) =k^(2)`

Explanation

दिया है : `" "xcos theta - ycos theta =k rArr xsin theta -ycos theta - ksin theta cos theta =0" "...(i)`
` " "xcos theta -ysin theta =kcos 2theta rArr xcos theta - ysin theta -kcos 2theta =0" "(ii)`
प्रश्नानुसार, मूलबिंदु (0,0) से रेखा (i ) पर डाले गये लम्ब की लम्बाई p है इसलिए ` " "(| 0*sintheta -0 cos theta -(k)/(2) sin 2theta | )/(sqrt(sin ^(2)theta +cos ^(2) theta ))`
`rArr " "p =| (k)/(2) sin 2theta | `
` rArr " "p^(2) =(k^(2))/(4)sin ^(2) 2theta `
`rArr " "4p^(2) =k^(2) sin ^(2) 2theta " "...(iii)`
तथा मूलबिंदु (0,0) से रेखा (ii ) पर डाले गये लम्ब की लम्बाई q है इसलिए
` " "q= (|0*costheta - 0sin theta -kcos 2theta |)/( sqrt(cos^(2) theta + sin ^(2) theta )) `
`rArr " "q= |kcos 2theta | ` ltBrgt `rArr " "q^(2) =k^(2) cos ^(2) 2theta " "...(iv)`
समीकरण (iii ) व (iv ) से,
` " "4p^(2) +q^(2) =k^(2) (sin ^(2) 2theta +cos ^(2) 2theta )`
`rArr " "4p^(2) +q^(2) =k^(2) " "` यही सिद्ध करना था|