रैखिक आवेश घनत्व `lamda` वाला एक लबा आवेशित बेलन एक खोखले समाक्षीय चालक बेलन द्वारा घिरा है। दोनों बेलनों के बीच के स्थान में विद्युत क्षेत्र कितना है?

Explanation

खोखले समाक्षीय बेलन चालक की त्रिज्याओं की यहाँ पर हम `r_(1)` तथा `r_(2)` लेते है और उसकी लम्बाई l है। आंतरिक बेलन रैखिक आवेश घनत्व `lamda` से आवेशित है और यहाँ `r_(2)` त्रिज्या के बाह्रा बेलन से घिरा है। हम दोनों बेलनों के बीच के स्थान के विद्युत क्षेत्र `vec(E)` जानना चाहते है।
यदि आंतरिक बेलन पर q आवेश है, तब `q = lamda l` प्रेरण से (स्थिर विद्युत) खोखले बेलन पर `-q` आवेश उत्प्रेरित होता है तथा इसके बहरी पृष्ठ पर `+q` आवेश उत्प्रेरित होता है, जो सुयोजित है। माना दोनों बेलनों के बीच के स्थान में जिसमे `vec(E)` ज्ञात करना है, XX' अक्ष से r दुरी पर बिंदु P है। यहाँ पर हम r त्रिज्या का एक l लम्बाई का गोसिय बेलन खींचते है। P बिंदु इसके पृष्ठ पर स्थिति है। गोसिय पृष्ठ आवर्त्त आवेश `q = lamda l` है।
बेलन सममिति के कारण बेलन के पृष्ठ के प्रत्येक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र `vec(E)` एकसमान है। इसके परिमाण में बेलन पर खींचे अभिलम्ब दिशा में बाहर की ओर गोसिय पृष्ठ के वक्रीय पृष्ठ के क्षेत्रफल `q = 2pi rl` बिंदु P पर वक्र पृष्ठ के क्षेत्रफल का एक अवयव ds लेते है यदि `vec(ds)` में से विद्युत अभिवाह `dphi` है, तब परिभाषा से,
`d phi = vec(E).vec(ds) = Eds cos 0 = Eds` ( `:' vec(E)` एवं `vec(ds), hat(n)` के अनुदिश है।)
यदि सारे गाउसीय पृष्ठ में कुल विद्युत अभिवाह `phi` है, तब
`phi_(1) = underset("वक्र पृष्ठ ")(int d phi) = int vec(E).vec(ds) = E int ds`
`phi_(1) = 2pi rl E`….(1)
`:. Vec(E)` सम्पूर्ण गाउसीय पृष्ठ पर अचर है।
इसके आलावा माना गाउसीय पृष्ठ की दोनों टोपियों में से विद्युत अभिवाह `phi_(2)` है।
`phi^(2) = int vec(E).vec(ds) + intvec(E) .vec(ds)`
`= int 2vec(E).vec(ds)`
`= 2intvec(E).hat(n) vec(ds) = 0" " :. vec(E) bot hat(n)`
यदि सम्पूर्ण गाउसीय पृष्ठ में से कुल विद्युत अभिवाह `phi` है, तब
`phi = phi_(1) + phi_(2)`
`= E.2pi rl + 0 = E.2pi rl`
अब गाउस के नियमानुसार,
`phi = (q)/(epsi_(0))`
या `E.2pi rl = (lamda l)/(epsi_(0))`
या `E = (lamda)/(2pi epsi_(0)r)`
क्षेत्र त्रिज्यीय, अक्ष के अभिलम्ब है। यही व्यंजक हमको ज्ञात करना है।