किसी `A.P.`के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है| is `A.P.` के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए|

Explanation

माना `A.P.` का प्रथम पद a तथा सार्वान्तर d है|
तीसरा पद `a_3 =a + 2d `
तथा `" "` सातवां पद ` a_7=a+6d`
प्रश्नानुसार `" " a_3 +a_7 =6`
तथा ` " " a_3a_7 =8`
` rArr " " a_3 (6-a_3 )=8 " " ("समीकरण ") (1) ("से ") `
` rArr" " 6a_3 -a_3^(2)=8`
` rArr" " 0 =a_3^(2) -6a_3 +8`
` rArr " " a_3^(2) -4a_3 -2a_3 +8 =0`
` rArr a_3 (a_3 -4) -2 (a_3 -4 =0`
`rArr " " ( a_3-4) (a_3-2 )=0`
` rArr a_3 -4=0 ` या `a_3 -2=0`
` rArr " " a_3 =4` या `" " a_3 =2` ltbr gt यदि `a_3 =4` तो समीकरण (1 ) से
` " "a_7 =6 -4=2 `
अब ` " " a+2d =4 " " .....(2)`
` " " a+6d =2" " ....(3)`
घटाने पर
` " " -4d =2 " " rArr " " d=-(1)/(2)`
d का मान समीकरण (2 ) में रखने पर
` " " a+ 2((-1)/(2)) =4`
` rArr " " a-1=4" " rArr " " a=4 +1=5`
`therefore " " S_16 =(16)/(2) [2a +(16-1)d]`
` " " =8[2xx5+15((-1)/(2))]`
` " "=8 (10-(15)/(2)) =8xx(5)/(2)=20`
यदि `a_3 =2` तो समीकरण (1 ) से,` a_7=4`
अब ` a+2d =2`
` a+6d =4`
घटाने पर
` " " -4d =-2 " " rArr " "d=(1)/(2)`
d का मान समीकरण (4 ) में रखने पर ` a+2xx(1)/(2) =2 " "rArr " " a=2 -1=1`
`therefore " " S_16 =(16)/(2) [2a +(16-1) d]`
` " " =8 [2xx 1+ 15xx(1)/(2) ]=8 (2+(15)/(2))`
`" " =8 xx(19)/(2) =76`