एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A(4, 6), B(1, 5) और C(7, 2) हैं । भुजाओ AB और AC को क्रमश: D और E पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गई है की `(AD)/(AB) = (AE)/(AC) = (1)/(4)` है । `Delta ADE` का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और इसकी तुलना `Delta ABC` के क्षेत्रफल से कीजिए ।

Explanation

`therefore Delta ABC` का क्षेत्रफल
`=(1)/(2)[{4.5+1.2+7.6}-{1.6+7.5+4.2}]`
`=(1)/(2)[(20+2+42)-(6+35+8)]`
`= (1)/(2)(64-49) = (15)/(2)` वर्ग मात्रक
दिया है `(AD)/(AB) = (1)/(3)" "rArr" "(AD)/(AD+BD) = (1)/(4)`
`rArr" "4 AD = AD + BD`
`rArr" "3 AD = BD`
`rArr" "(AD)/(BD) = (1)/(3) = 1 : 3`
`therefore` बिंदु D, AB को 1 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है । अत: बिंदु D के निर्देशांक
`=((1x1+3xx4)/(1+3)=(1xx5+3xx6)/(1+3))`
`=((1+12)/(4),(5+18)/(4))=((13)/(4),(23)/(4))`
पुन: `(AE)/(AC) = (1)/(4)`
`rArr" "(AE)/(AE+EC) = (1)/(4)`
`rArr" "4AE = AE + EC`
`rArr" "3AE = EC`
`rArr" "(AE)/(EC) = (1)/(3)=1 : 3`
`therefore` बिंदु E, AC को 1 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है । अत: बिंदु E के निर्देशांक
`=((1xx7+3xx4)/(1+3),(1xx2+3xx6)/(1+3))`
`=((7+12)/(4),(2+18)/(4))=((19)/(4),5)`
अब `A -= (4,6), D-=((13)/(4),(23)/(4)), E-=((19)/(4),5)`
`therefore Delta ADE` का क्षेत्रफल ltbr`=(1)/(2) [{4.(23)/(4)+(13)/(4).5+(19)/(4).6}-{(13)/(4).6+(19)/(4).(23)/(4)+4.5}]`
`=(1)/(2) [(23+(65)/(4)+(114)/(4))-((78)/(4)+(437)/(16)+20)]`
`=(1)/(2) [(92+65+114)/(4)-(312+437+320)/(16)]`
`=(1)/(2)[(271)/(4)-(1069)/(16)]=(1)/(2)((1084-1069)/(16))`
`= (15)/(32)` वर्ग मात्रक
अब `(Delta "ADE का क्षेत्रफल")/(Delta "ABC का क्षेत्रफल") = (15//32)/(15//2) = (1)/(16) = 1 : 16`