मान लीजिए A(4, 2), B(6, 5) और C(1, 4) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं ।
(i) A से होकर जाने वाली माध्यिका BC से D पर मिलती है । बिंदु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ।
(ii) AD पर स्थित ऐसे बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए की AP : PD = 2 : 1 हो ।
(iii) माध्यिकाओ BE और CF पर ऐसे बिन्दुओ Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए की BQ : QE = 2 : 1 हो और CR : RF = 2 : 1 हो ।
(iv) आप क्या देखते हैं ?
[नोट : वः बिंदु जो तीनो मध्यिकाओ में सर्वनिष्ठ हो, उस त्रिभुज का केन्द्रक (centroid) कहलाता है और यह प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है ।]
(v) यदि `A(x_(1),y_(1)), B(x_(2),y_(2))` और `C(x_(3),y_(3))` त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, तो इस त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ।

Explanation

`A-=(4,2), B-=(6, 5), C-=(1, 4)`
(i) D, BC का मध्य-बिंदु है ।
`therefore D` के निर्देशांक `=((6+1)/(2),(5+4)/(2))=((7)/(2),(9)/(2))`
(ii) माना P के निर्देशांक = (x, y)
P, AD को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है ।

`x = (2 xx (7)/(2)+1xx4)/(2+1)`
`therefore" "=(7+4)/(3)=(11)/(3)`
तथा `y=(2xx(9)/(2)+1xx2)/(2+1)`
`=(9+2)/(3)=(11)/(3)`
`therefore` बिंदु P के निर्देशांक `=((11)/(3),(11)/(3))`
(iii) AC के मध्य-बिंदु E के निर्देशांक
`=((4+1)/(2),(2+4)/(2))=((5)/(2),3)`
BE को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु Q के निर्देशांक
`=((2*(5)/(2)+1*6)/(2+1),(2*3+1*5)/(2+1))`
`=((5+6)/(3),(6+5)/(3))=((11)/(3),(11)/(3))`
पुन: AB के मध्य-बिंदु F के निर्देशांक
`=((4+6)/(2),(2+5)/(2))=(5,(7)/(2))`
CF के 2 : 1 अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु R के निर्देशांक
`=((2*5+1*1)/(2+1),(2*(7)/(2)+1*4)/(2+1))`
`=((10+1)/(3),(7+4)/(3))=((11)/(3),(11)/(3))`
(iv) त्रिभुज की मध्यिकाओ का एक संगामी बिंदु है, जो प्रत्येक माधियका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है ।
(v) यदि `Delta ABC` के शीर्ष `A(x_(1),y_(1)),B(x_(2),y_(2))` तथा `C(x_(3),y_(3))` हैं, तो इस त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक
`=((x_(1)+x_(2)+x_(3))/(3),(y_(1)+y_(2)+y_(3))/(3))`