शंकु के एक छिन्नक के लिए , पूर्व स्पष्ट किए संकेतों का प्रयोग करते हूए , वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के उन सूत्रों को सिद्ध कीजिए , जो अनुच्छेद `13.5` में दिए गए है ।

Explanation

माना एक शंकु (V,AB) का शीर्ष V, आधार की त्रिज्या `r_2` और तिर्यक ऊंचाई `l_2` है । इस शंकु के शीर्ष V से `h_1` नीचे स्थित बिन्दु O' से आधार के समान्तर एक शंकु (V,CD) काटा गया है जिसकी त्रिज्या `r_1` तथा तिर्यक ऊंचाई `l_1` है ।
बिन्दु D से आधार पर लम्ब DE खींचा ।

`Delta VO'D` तथा `Delta DEB` में ,
`angle VO'D= angle DEB`
(VO और DE दोनों ही आधार पर लम्बवत् है)
`angle VDO'=angleDBE`
(दोनों शंकुओं के आधार परस्पर समान्तर है )
`therefore Delta VO'D` और `Delta DEB` समरूप है ,
`(VD)/(BD)=(O'D)/(EB)`
या `(l_1)/(l)=(O'D)/(OB-OE)=(O'D)/(OB-O'D)`
जबकि `BD=l=` छिन्नक की तिर्यक ऊंचाई
`rArr (l_1)/(l)=(r_1)/(r_2-r_1)rArr l_1= ((r_1)/(r_2-r_1))l ......1`
छिन्नक का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु (V,AB) का वक्रपृष्ठ- शंकु (V,CD) का वक्रपृष्ठीय
`= pi r_2 l_2- pi r_1 l_1= pi r_2`
`=pi r_2l_1+pi r_2(BD)-pir_1l_1`
`=pi (r_2-r_1)+pir_2l`
(जहाँ `BD= l =` छिन्नक की तिर्यक ऊंचाई है ।)
`=pi (r_2-r_1)((r_1)/(r_2-r_1))l+pi r_2l`
[ समीकरण (1) से ]
`=pi r_1l+pi r_2l`
अतः छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `= pi (r_1+r_2)l`
यही सिद्ध करना था ।
और छिन्नक का सम्पूर्ण पृष्ठ = वक्रपृष्ठ+ इससे सिरे का क्षेत्रफल + दूसरे सिरे का क्षेत्रफल
`=pi (r_1+r_2)l+pi r_(1)^(2)+ pi r_(2)^(2)`
`= pi (r_1+r_2)l+pi (r_(1)^(2)+r_(2)^(2))`
यही सिद्ध करना था ।