शंकु के एक छिन्नक के लिए , पूर्व स्पष्ट किए संकेतों का प्रयोग करते हुए , आयतन का वह सूत्र सिद्ध कीजिए , जा अनुच्छेद `13.5` में दिया गया है ।

Explanation

पिछले प्रश्न से , शंकु (V,AB) की ऊंचाई `h_2` तथा त्रिज्या `r_2` है ।
`therefore` शंकु (V,AB) का आयतन `=(1)/(3)pi r_(2)^(2)h_2`
और शंकु (V,CD) का आयतन `=(1)/(3)pi r_(1)^(2)h_1`
`therefore` छिन्नक का आयतन = शंकु (V,AB) का आयतन - शंकु (V,CD) का आयतन
`therefore` छिन्नक का आयतन `(V)=(1)/(3)pi r_(2)^(2)h_2-(1)/(2)pi r_(1)^(2)h_1....(1)`
`therefore h_2 =VO=VO'+ O'O=h_1h`
`therefore ` समीकरण (1) में `h_2=h_1+h` रखने पर ,
छिन्नक का आयतन `V=(1)/(3)pi r_(2)^(2)(h_1+h)-(1)/(3) pi r_(1)^(2)h_1`
छिन्नक का आयतन `V=(1)/(3) pi (r_(2)^(2)-r_(1)^(2))h_1+(1)/(3)pi r_(2)^(2) h .....(2)`
समरूप `Delta VO'D` तथा `Delta DEB` में ,
`(h_1)/(h)=(r_1)/(r_2-r_1) rArr h_1=((r_1)/(r_2-r_1))h`
समीकरण (2) में `h_1((r_1)/(r_2-r_1))h` रखने पर ,
`V=(1)/(3)pi (r_(2)^(2)-r_(1)^(2))(r)/((r_2-r_1))h+(1)/(3)pi r_(2)^(2)h`
`=(1)/(3) pi (r_2+r_1) r_1h+(1)/(3) pi r_(2)^(2) h`
`= (1)/(3)pi (r_(1)^(2)+r_1 r_2+r_(2)^(2))h`
अतः शंकु के छिन्नक का आयतन
`=(1)/(3)pi (r_(1)^(2)+r_1 r_(2)+r_(2)^(2))h` .
यही सिद्ध करना था ।