दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते है। और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

Explanation

दिया है: एक वर्ग `ABCD`
दर्शाना है: `AC=BD. AC_|_BD,AO=CO` तथा `BO=DO`
उपपत्‍ति: ABCD एक वर्ग है इसलिए `AB||DC` और `AD||BC`.
अब `AB||DC` और तिर्यक रेखा `AC` उन्हें काटती है।
`:./_BAC=/_DCA` (एकांतर अन्तः कोण)
`implies/_BAO=/_DCO`………….1
पुनः `AB||DC` और `BD` उन्हें प्रतिच्छेद करती है।
`:./_ABD=/_CDB` (एकान्तर अन्तः कोण)
`implies/_ABO=/_CDO` ……….2
अब `DeltaAOB` और `DeltaCOD` में
`/_BAO=/_DCO` [समीकरण 1 से]
`AB=CD`
(समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएं बराबर होती हैं)
और `/_ABO=/_CDO` [समीकरण 2 से]
`DeltaAOB=DeltaCOD` (A.S.A से )
`OA=OC` और `OB=OD` (c.p.c.t)
अतः विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
`DeltaADB` और `DeltaBCA` में
`AD=BC` (वर्ग की भुजाएं बराबर होती हैं)
`/_BAD=/_ABC` (प्रत्येक कोण `90^(@)`)
`DeltaADB=DeltaBCA` (S.A.S. से )
`impliesBD=AC` (c.p.c.t)
`DeltaAOB` और `DeltaAOD` में
`OB=OD`
( `:'` समांतर चतुर्भुज में विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं)
`AB=AD` ( वर्ग भुजाएं बराबर होती हैं )
`AO=AO` (उभयनिष्ठ)
`DeltaAOB=DeltaAOD` (S.S.S से)
`/_AOB=/_AOD` (c.p.c.t)
लेकिन `/_AOB+/_AOD=180^(@)`
`:./_AOB=/_AOD=90^(@)`
`impliesAO_|_BDimpliesAC_|_BD`
अतः विकर्ण समकोणों पर प्रतिच्छेद करते हैं।