दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों और परस्पर लम्बवत समद्विभाजित करें तो वह एक वर्ग होता है।

Explanation

दिया है : एक चतुर्भुज ABCD में विकर्ण `AC=BD,AO=OC,BO=OD` और `AC_|_BD` हैं।
दर्शाना है: चतुर्भुज ABCD एक वर्ग हैं
उपपत्‍ति: `DeltaAOD` और `DeltaCOB` में
`AO=CO` (दिया है)
`OD=OB` (दिया है)
`/_AOD=/_COB` (शीर्षाभिमुख कोण)
`Delta AOD=DeltaCOB` (S.A.S से )
`implies/_OAD=/_OCB` (c.p.c.t)……………1
परंतु ये एकांतर कोण है
`:.AD||BC`
इसी प्रकार `AB||CD`
अतः ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
अब हम सिद्ध करेगें कि यह एक वर्ग है।
`DeltaAOB` और `DeltaAOD` में
`AO=AO` (उभयनिष्ठ)
`/_AOB=/_AOD` (प्रत्येक `=90^(@)` दिया है)
और `OB=OD`
(समांतर चतुर्भुजों के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं)
`DeltaAOB=DeltaAOD` (S.A.S से )
`impliesAB=AD` (c.p.c.t)
परंतु `AB=CD` और `AD=BC`
(समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएं बराबर होती हैं)
`AB=BC=CD=AD` ……….. 1
अब `DeltaABD` और `DeltaBCA` में
`AB=BA` (उभयनिष्ठ)
`AD=BC`
(समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएं बराबर होती हैं)
और `BD=AC` (दिया है)
`DeltaABD=DeltaBAC` (S.S.S से )
`implies/_DAB=/_CBA` (c.p.c.t)
अर्थात `/_DAB+/_CAB=180^(@)`
(समांतर चतुर्भुज के अन्तः कोणों के योग से)
`:.2/_DAB=180^(@)`
या `/_DAB=90^(@)`
इसी प्रकार `/_CBA=180^(@) `
या `/_CBA=90^(@)`
अतः `ABCD` एक वर्ग है।