समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण BD पर दो बिंदु `P` और `Q` इस प्रकार स्थित हैं कि `DP=BQ` है। दर्शाइए कि:
(i) `DeltaAPD~=DeltaCQB` (ii) `AP=CQ`
(iii) `DeltaAQB~=DeltaCPD` (iv) `AQ=CP`
(v) `APCQ` एक समांतर चतुर्भुज है।

Explanation

दिया है `ABCD` एक समांतर चतुर्भुज है और `P` और `Q,BD` पर इस प्रकार स्थित हैं कि

`DP=BQ`……………1
(i) हम सिद्ध करेंगें कि
`DeltaAPD~=DeltaCQB`
अब `DeltaAPD` और `DeltaCQB` में
`:'{(DP=BQ("दिया है")),(AD=BC("समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएं")),(/_1=/_2("एकांतर कोण")):}`
`:.DeltaAPD~=DeltaCQB` (S.A.S. से)
(ii) `:'DeltaAPD~=DeltaCQB` (सिद्ध कर चुके हैं।)
`:'AP=CQ`
(iii) यहां हम सिद्ध करेंगे कि `DeltaAQB~=DeltaACPD`
अब `DeltaAQB` और `DeltaCPD` में
`:'{(BQ=DE ("दिया है")),(AB=CD("समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएं")),(/_3=/_4(एकान्तर कोण)):}`
`:.DeltaAQB~=DeltaCPD` (S.A.S)
(iv) `:'DeltaAQB=DeltaCPD`
`:.AQ=CP`
(v) `:'AP=CQ` [भाग ii से]
और `AQ=CP` [भाग iv से]
`:.squareAPCQ` एक समांतर चतुर्भुज है।
( `:'`सम्मुख भुजाओं के युग्म बराबर है)