ABCD एक आयत है जिसमें P,Q,R और S क्रमशः भुजाओं AB,BC,CD और DA के मध्य बिंदु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक समचतुर्भुज है।

Explanation

माना `ABCD` एक आयत है जिसकी भुजाओं AB,BC,CD और DA के मध्य बिंदु क्रमशः P,Q,R और S है।
आयत विकर्ण AC को मिलाया।
`DeltaBAC` में `P` और `Q` क्रमशः BA और BC के मध्य बिंदु है।
`:.PQ||AC` और `PQ=1/2AC`………..1
`DeltaADC` में
`R` और `S` क्रमशः DC और DA के मध्य बिंदु है।
`:.SR||AC` और `SR=1/2AC`…………2
समीकरण 1 और 2 से
`PQ||SR` और `PQ=SR`……….3
`implies squarePQRS` एक समांतर चतुर्भुज है।
अब `ABCD` एक आयत है।
`:.AD=BFimplies1/2AD=1/2BC`
`impliesAS=BQ`………4
`DeltaAPS` और `DeltaBPQ` से
`AP=BP` (P,AB का मध्य बिंदु है)
`/_PAS=/_PBQ` (प्रत्येक `90^(@)`)
`AS=BQ` [समीकरण 4 से]
`:.DeltAPS~=DeltaBPQ` (S.A.S प्रमेय )
`impliesPS=PQ` …….5
समीकरण 3 और 5 से
PQRS एक समांतर चतुर्भुज है तथा `PS=PQ`
`:.PQRS` एक समचतुर्भुज है।