आकृति में, P समान्तर चतुर्भुज ABCD के अभ्यन्तर में स्थित कोई बिन्दु है। दर्शाइए कि :
(i) `ar(APB)+ar(PCD)=(1)/(2)ar(ABCD)`
(ii) `ar(APD)+ar(PBC)=ar(APB)+ar(PCD)`
संकेत : P से होकर AB के समान्तर एक रेखा खींचिए।

Explanation

दिया है कि ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। अतः `"AB || CD, AD || BC"`
(i) अब `"MPR || AB || CD"` तथा `PS _|_ AB` खींचते है।
`because "MR || AB"` और `"AM || BR"`
`therefore ABRM` एक समान्तर चतुर्भुज है।
`therefore ar("||gm ABRM")=AB xx PS " ...(1)"`
और `ar(DeltaAPB)=(1)/(2)xxABxxPS`

`implies ar(DeltaAPB)=(1)/(2)ar("||gm ABRM")` [समीकरण (1) से]
इसी प्रकार, `ar(DeltaPCD) = (1)/(2)ar("||gm MRCD")`
अब, `ar(DeltaAPB)+ar(DeltaPCD)=(1)/(2)ar("||gm ABRM")+(1)/(2)ar("||gm MRCD")`
`=(1)/(2)ar("||gm ABCD")" ...(2)"`
(ii) इसी प्रकार P से एक रेखा AD के समान्तर तथा P से एक रेखा AD के लम्बवत खींचते है। हम सिद्ध कर सकते है कि
`ar(DeltaAPD)+ar(DeltaPBC)=(1)/(2)ar("||gm ABCD")`
समीकरण (2) और (3) से,
`ar(DeltaAPD)+ar(DeltaPBC)=ar(DeltaAPB)+ar(DeltaPCD)`