D, E और F क्रमशः त्रिभुज ABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिन्दु है। दर्शाइए कि :
(i) BDEF का समान्तर चतुर्भुज है।
(ii) `ar(DEF)=(1)/(4)ar(ABC)`
(iii) `ar(BDEF) = (1)/(2)ar(ABC)`

Explanation

(i) `DeltaABC` में

AB का मध्य-बिन्दु F और AC का मध्य-बिन्दु E है।
`therefore " FE || BC"`
`implies " FE || BD"`
इसी प्रकार `" ED || FB"`
`therefore square BDEF` एक समान्तर चतुर्भुज है।
(ii) `squareBDEF` एक समान्तर चतुर्भुज है तथा FD इसका विकर्ण है।
`therefore DeltaFBD` का क्षेत्रफल `=DeltaDEF` का क्षेत्रफल `" ...(1)"`
इसी प्रकार सिद्ध कर सकते है कि
`DeltaCDE` का क्षेत्रफल `=DeltaDEF` का क्षेत्रफल `" ...(2)"`
और `DeltaAFE` का क्षेत्रफल =`DeltaDEF` का क्षेत्रफल `" ...(3)"`
`therefore 4xxDeltaDEF` का क्षेत्रफल
`=DeltaDEF` का क्षेत्रफल `+DeltaDEF` का क्षेत्रफल
`+DeltaDEF` का क्षेत्रफल `+DeltaAEF` का क्षेत्रफल
`+DeltaFBD` का क्षेत्रफल `+DeltaCDE` का क्षेत्रफल
`=DeltaABC` का क्षेत्रफल
`implies DeltaDEF` का क्षेत्रफल `=(1)/(4)xxDeltaABC` का क्षेत्रफल
(iii) अब `squareBDEF` का क्षेत्रफल `=2xxDeltaDEF` का क्षेत्रफल
`=2xx(1)/(4)xxDeltaABC` का क्षेत्रफल
`=(1)/(2)xxDeltaABC` का क्षेत्रफल